2.3. Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье полей и потенциалов в однородной изотропной диспергирующей среде (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны).

рассмотрим образ

$$ \left[\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right]_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}e^{i\omega t}dt=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial\left(\mathbf{B}e^{i\omega t}\right)}{\partial t}-i\omega\mathbf{B}e^{i\omega t}dt= $$ $$ \frac{1}{2\pi}\left.\left(\mathbf{B}e^{i\omega t}\right)\right|_{-\infty}^{\infty}-\frac{i\omega}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}e^{i\omega t}dt=0-i\omega\mathbf{B}_{\omega}=-i\omega\mathbf{B}_{\omega} . $$ Аналогично найдём Фурье–образ для: $$ \left[\text{div} \mathbf{B}\right]_{\mathbf{k}}=\left[\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}\right]_{\mathbf{k}}, $$ но для начала рассмотрим только одно слагаемое: $$ \left[\frac{\partial B_{x}}{\partial x}\right]_{\mathbf{k}}=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}} \intop_{-\infty}^{\infty} \intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial B_{x}}{\partial x}e^{-ik_{x}x}\,dx\,e^{-ik_{y}y}dy\,e^{-ik_{z}z}dz= $$ $$ \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty} \intop_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\partial\left(B_{x}e^{-ik_{x}x}\right)}{\partial x}+ik_{x}B_{x}e^{-ik_{x}x}\right)\,dx\,e^{-ik_{y}y}dy\,e^{-ik_{z}z}dz= $$ $$ \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty} \intop_{-\infty}^{\infty} \left.\left(B_{x}e^{-ik_{x}x}\right)\right|_{-\infty}^{\infty} \,e^{-ik_{y}y}dy\,e^{-ik_{z}z}dz \ + $$ $$ \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}} \intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty} \left(ik_{x}B_{x}e^{-ik_{x}x}\right)\,dx\,e^{-ik_{y}y}dy\,e^{-ik_{z}z}dz= $$ $$ 0 \ +ik_{x}\left(B_{x}\right)_{\mathbf{k}}=ik_{x}\left(B_{x}\right)_{\mathbf{k}} $$ первое слагаемое зануляется т.к. поле на больших расстояния обращается в ноль.

Складывая, теперь покомпонентно: $$ \left[\text{div}\mathbf{B}\right]_{\mathbf{k}}=\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)_{\mathbf{k}}=\left[\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}\right]_{\mathbf{k}}=i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_{\mathbf{k}}\right) . $$

совершенно аналогично из покопонентного вычисления

$$ \left[\text{rot}\mathbf{B}\right]_{\mathbf{k}}=\left[\nabla\times\mathbf{B}\right]_{\mathbf{k}}=i\left[\mathbf{k}\times\mathbf{B}_{\mathbf{k}}\right] . $$

$$ \left[\nabla\times\mathbf{E}\right]_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\left[\nabla\times\mathbf{E}\right]e^{i\omega t}dt=\nabla\times\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}e^{i\omega t}dt=\left[\nabla\times\mathbf{E}_{\omega}\right] .$$

Тогда окончательно запишем разложение по монохроматическим волнам:

$$\text{rot}\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \mapsto \left[\nabla\times\mathbf{E}_{\omega}\right]=\frac{i\omega}{c}\mathbf{B}_{\omega} ,$$ $$ \text{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \mapsto \left[\nabla\times\mathbf{H}_{\omega}\right]=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_{\omega}+\frac{i\omega}{c}\mathbf{D}_{\omega} ,$$

$$\text{div}\mathbf{D}=4\pi\rho \mapsto \left(\nabla\cdot\mathbf{D}_{\omega}\right)=4\pi\rho_{\omega} ,$$ $$ \text{div}\mathbf{B}=0 \mapsto \left(\nabla\cdot\mathbf{B}_{\omega}\right)=0. $$

Разложение по плоским волнам:

$$ \text{rot}\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \mapsto i\left[\mathbf{k}\times\mathbf{E}_{\mathbf{k}}\right]=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B_{\mathbf{k}}}}{\partial t} ,$$ $$ \text{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \mapsto i\left[\mathbf{k}\times\mathbf{H}_{\mathbf{k}}\right]=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_{\mathbf{k}}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}_{\mathbf{k}}}{\partial t} ,$$ $$ \text{div}\mathbf{D}=4\pi\rho \mapsto i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{D}_{\mathbf{k}}\right)=4\pi\rho_{\mathbf{k}} ,$$ $$ \text{div}\mathbf{B}=0 \mapsto \left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_{\mathbf{k}}\right)=0 . $$

Разложение по плоским и монохроматическим волнам:

$$ \text{rot}\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \mapsto \left[\mathbf{k}\times\mathbf{E}_{\mathbf{k}\omega}\right]=\frac{\omega}{c}\mathbf{B}_{\mathbf{k}\omega},$$

$$\text{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \mapsto \left[\mathbf{k}\times\mathbf{H}_{\mathbf{k}\omega}\right]=-\frac{i4\pi}{c}\mathbf{j}_{\mathbf{k}\omega}+\frac{\omega}{c}\mathbf{D}_{\mathbf{k}\omega},$$ $$ \text{div}\mathbf{D}=4\pi\rho \mapsto \left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{D}_{\mathbf{k}\omega}\right)=-i4\pi\rho_{\mathbf{k}\omega}, $$ $$\text{div}\mathbf{B}=0 \mapsto \left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_{\mathbf{k}\omega}\right)=0 .$$