Это старая версия документа!

---

2.4. Найти связь между компонентами Фурье полей и потенциалов (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны).

---

Найдём связь между компонентами Фурье полей и потенциалов подставив в уравнения связи полей и потенциалов

$\mathbf{B}=rot\mathbf{A}=[\nabla\times\mathbf{A}]$

$\mathbf{E}=-grad\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$

Функции полей и потенциалов, выраженные через их Фурье образы:

$\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega$,$\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$,$\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}$,

$\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega$,$\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$,$\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}$,

$\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega$,$\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$,$\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}$,

$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{\varphi}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega$,$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$,$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}$,

так как $\mathbf{B}_{\omega},\mathbf{E}_{\omega},\mathbf{A}_{\omega},\mathbf{\varphi}_{\omega},\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{\varphi}_{\omega\mathbf{k}}$ \textemdash{} не зависят от времени, а

$\mathbf{B}_{\omega},\mathbf{E}_{\omega},\mathbf{A}_{\omega},\mathbf{\varphi}_{\omega},\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{\varphi}_{\omega\mathbf{k}}$ \textemdash{} от пространственных переменных, то производные легко берутся после замены порядка интегрирования и дифференцирования. Рассмотрим сначала разложение на монохроматические волны:

$\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=[\nabla\times\mathbf{\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]e^{-i\omega t}d\omega$

перепишем равенство в виде

$\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]\right)e^{-i\omega t}d\omega=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=\mathbf{F}(t)=0$

Но для всюду нулевой функции $\mathbf{F}(t)=0$ её образ

$\mathbf{F}_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}(t)e^{i\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}0\cdot e^{i\omega t}d\omega=0$

так же будет нулевым

$\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]=0$

так, что

$\mathbf{B}_{\omega}=[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]$

Рассмотрим теперь разложение на плоские волны:

$\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=[\nabla\times\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=$

$=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{r}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{r}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$

перепишем равенство в виде

$\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]\right)e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=0$

Аналогично, как и в предыдущем случае, приходим к равенству нулю подынтегральной функции

$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]=0$

ну и окончательно

$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]$.

При разложении по плоским и монохроматическим:

$\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}]$.

Аналогичные построения для электрического поля приводят к выражениям:

$\mathbf{E}_{\omega}=-\nabla\varphi_{\omega}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega}$

$\mathbf{E_{k}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\mathbf{k}}-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{\mathbf{A}_{\mathbf{k}}}}{\partial t}$

$\mathbf{E_{\omega\mathbf{k}}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\omega\mathbf{k}}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}$