3.33. Под углом $\alpha $ на стеклянную пластинку толщиной $d$ с показателем преломления $n$ падает плоская волна (длина волны $\lambda ).$ Найти условия образования интерференционных максимумов и минимумов отраженного света.

Оптическая длина первого луча, с учётом отражения от более плотной оптической среды: $$\ell_{1}=\frac{\lambda}{2}+\delta_{1},$$ где $\delta_{1}=\delta\sin\alpha$, $\delta=2d\text{tg}\beta$ так, что

$$\ell_{1}=\frac{\lambda}{2}+2d\text{tg}\beta\sin\alpha.$$

Оптическая длина второго луча:

$$\ell_{2}=\frac{2nd}{\cos\beta}.$$

Учитывая закон Снелиуса найдём разность

$$\Delta=\ell_{2}-\ell_{1}=\frac{2nd}{\cos\beta}-2d\text{tg}\beta\sin\alpha-\frac{\lambda}{2}=\frac{2nd}{\cos\beta}-2d\text{tg}\beta\sin\beta-\frac{\lambda}{2}=$$

$$\frac{2nd}{\cos\beta}\left(1-\sin^{2}\beta\right)-\frac{\lambda}{2}=2nd\cos\beta-\frac{\lambda}{2}.$$

Условие на максимум: $\Delta=m\lambda,$ следовательно

$$2nd\cos\beta=\frac{1}{2}\lambda\left(2m+1\right)$$

или

$$2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}=\frac{1}{2}\lambda\left(2m+1\right),$$

где $m=0,1,2,\ldots$