Диэлектрический слой с проницаемостью $\varepsilon _2,$ ограниченный плоскостями $z = 0$ и $z = a,$ разделяет диэлектрические среды с проницаемостями $\varepsilon _1$ и $\varepsilon _3$ ($\mu _1 = \mu _2 = \mu _3 = 1$). На этот слой из области $z < 0$ падает нормально к его поверхности электромагнитная волна. При какой толщине слоя отражение будет минимальным? При каком соотношении между $\varepsilon _1,$, $\varepsilon _2,$ $\varepsilon _3$ отражения не будет (условие просветленной оптики).

Свет интенсивностью $I_{0}$ частично отражается от первой границы с энергетическим коэффициентом отражения $$R_{1}=\left(\frac{\sqrt{\varepsilon_{1}}-\sqrt{\varepsilon_{2}}}{\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}}\right)^{2},$$ и от второй границы с коэффициентом $$R_{2}=\left(\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}}{\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}}\right)^{2}.$$

Тогда интенсивности прошедших лучей выразятся в виде $$I_{1'}=\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}$$ $$I_{2'}=R_{1}R_{2}I_{1'}=R_{1}R_{2}\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}$$ $$I_{3'}=R_{1}R_{2}I_{2'}=R_{1}^{2}R_{2}^{2}\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}$$ т.е. на $m+1$ шаге $$I_{m+1}=R_{1}^{m}R_{2}^{m}\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}.$$

Амплитуда электрического поля $E\sim\sqrt{I}$ так, что

$$E_{m+1}=\left(-1\right)^{m}R_{1}^{\frac{m}{2}}R_{2}^{\frac{m}{2}}\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0},$$

где изменение знака, т.е. появление коэффициента $\left(-1\right)^{m}$, происходит при условии $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\varepsilon_{3}$ — при отражении от более плотной среды (граница раздела $\varepsilon_{2}$ и $\varepsilon_{3}$).

Для записи в общем случае, для произвольной среды перейдём от коэффициента $R$ к коэффициенту отражения для амплитуды поля $$r_{1}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{1}}}{\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}},$$ $$r_{2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}}{\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}},$$ так, что $r_{i}^{2}=R_{i}$, но при этом, нам теперь не надо учитывать знак, при других различных соотношениях между диэлектрическими проницаемостями сред.

Тогда

$$E_{m+1}=r_{1}^mr_{2}^m\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}.$$

Разность хода между двумя соседними лучами $\Delta=2a,$ тогда суммарная амплитуда прошедшей волны с учётом набега фазы $\varphi=k\Delta=\frac{4\pi a}{\lambda}$: $$E={\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}E_{m+1}e^{im\varphi}}=$$ $${\displaystyle\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}\sum_{m=0}^{\infty}e^{im\varphi}r_{1}^mr_{2}^m}=$$ $$\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}\frac{1}{1-e^{i\varphi}r_{1}r_{2}}$$

Найдём, теперь интенсивность прошедшей волны: $I\sim EE^{*}$.

$$I_{D}=\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}\frac{1}{\left(1-e^{i\varphi}r_{1}r_{2}\right)\left(1-e^{-i\varphi}r_{1}r_{2}\right)}=$$ $$\frac{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}}{1+R_{1}R_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi}.$$ Интенсивность отражённой волны будет минимальной, когда интенсивность пройденной волны будет максимальной: $$\frac{\partial I_{D}}{\partial a}=-\frac{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}2r_{1}r_{2}\sin\varphi}{\left(1+R_{1}R_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi\right)^{2}}\cdot\frac{4\pi n}{\lambda}=0.$$

Следовательно $\sin\varphi=0$. Но для максимальности нужно что бы знаменатель при этом был минимальным, и если $r_{1}r_{2}>0$, то $\cos\varphi=1$, а если $r_{1}r_{2}<0$, как в случае $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\varepsilon_{3}$, то $\cos\varphi=-1.$ Тогда $$\frac{4\pi a}{\lambda}=\pi+2\pi m, \ \ \text{ т.е. } \ a=\frac{\lambda}{4}+\frac{\lambda}{2}m.$$

Найдём теперь соотношение между $\varepsilon_{1},$ $\varepsilon_{2},$ $\varepsilon_{3}$ когда отражения не будет (т.е. условие просветленной оптики).

Для этого необходимо что бы $I_D=I_0$.

Вспоминая формулу $$I_{D}=\frac{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}}{1+R_{1}R_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi}.$$ приходим к тому, что должно выполняться равенство $$\left(1-r_{1}^{2}\right)\left(1-r_{2}^{2}\right)=\left.1+r_{1}^{2}r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi\right|_{\cos\varphi=-1}=1+r_{1}^{2}r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}. $$ Далее преобразования $$r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=-2r_{1}r_{2},$$ $$\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}=0,$$ $$\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{1}}}{\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}}=-\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}}{\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}},$$ $$\left(\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{1}}\right)\left(\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}\right)=-\left(\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}\right)\left(\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}\right)$$ Приводя подобные члены, приходим к известному уже соотношению: $$\varepsilon_{2}=\sqrt{\varepsilon_{1}\varepsilon_{3}}.$$