Это старая версия документа!

Диэлектрический слой с проницаемостью $\varepsilon _2,$ ограниченный плоскостями $z = 0$ и $z = a,$ разделяет диэлектрические среды с проницаемостями $\varepsilon _1$ и $\varepsilon _3$ ($\mu _1 = \mu _2 = \mu _3 = 1$). На этот слой из области $z < 0$ падает нормально к его поверхности электромагнитная волна. При какой толщине слоя отражение будет минимальным? При каком соотношении между $\varepsilon _1,$, $\varepsilon _2,$ $\varepsilon _3$ отражения не будет (условие просветленной оптики).

Свет интенсивностью $I_{0}$ частично отражается от первой границы с энергетическим коэффициентом отражения $$R_{1}=\left(\frac{\sqrt{\varepsilon_{1}}-\sqrt{\varepsilon_{2}}}{\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}}\right)^{2},$$ и от второй границы с коэффициентом $$R_{2}=\left(\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}}{\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}}\right)^{2}.$$

Тогда интенсивности прошедших лучей выразятся в виде $$I_{1'}=\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}$$ $$I_{2'}=R_{1}R_{2}I_{1'}=R_{1}R_{2}\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}$$ $$I_{3'}=R_{1}R_{2}I_{2'}=R_{1}^{2}R_{2}^{2}\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}$$ т.е. на $m+1$ шаге $$I_{m+1}=R_{1}^{m}R_{2}^{m}\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)I_{0}.$$

Амплитуда электрического поля $E\sim\sqrt{I}$ так, что

$$E_{m+1}=\left(-1\right)^{m}R_{1}^{\frac{m}{2}}R_{2}^{\frac{m}{2}}\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0},$$

где изменение знака, т.е. появление коэффициента $\left(-1\right)^{m}$, происходит при условии $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\varepsilon_{3}$ — при отражении от более плотной среды (граница раздела $\varepsilon_{2}$ и $\varepsilon_{3}$).

Для записи в общем случае, для произвольной среды перейдём от коэффициента $R$ к коэффициенту отражения для амплитуды поля $$r_{1}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{1}}}{\sqrt{\varepsilon_{1}}+\sqrt{\varepsilon_{2}}},$$ $$r_{2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{2}}-\sqrt{\varepsilon_{3}}}{\sqrt{\varepsilon_{2}}+\sqrt{\varepsilon_{3}}},$$ так, что $r_{i}^{2}=R_{i}$, но при этом, нам теперь не надо учитывать знак, при других различных соотношениях между диэлектрическими проницаемостями сред.

Тогда

$$E_{m+1}=r_{1}r_{2}\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}.$$

Разность хода между двумя соседними лучами $\Delta=2a,$ тогда суммарная амплитуда прошедшей волны с учётом набега фазы $\varphi=k\Delta=\frac{4\pi a}{\lambda}$: $$E={\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}E_{m+1}e^{im\varphi}}=$$ $${\displaystyle\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}\sum_{m=0}^{\infty}e^{im\varphi}r_{1}^mr_{2}^m}=$$ $$\sqrt{\left(1-R_{1}\right)\left(1-R_{2}\right)}E_{0}\frac{1}{1-e^{i\varphi}r_{1}r_{2}}$$