Это старая версия документа!

3.72. Найти угловое распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера на экране:

а) с одной щелью шириной $b;$ Оценить относительные интенсивности максимумов, ближайших к главному.

б) с двумя щелями ширины $b$ и расстоянием $a$ между ними.

В соответствии с принципом Гюйгенса\textendash Френеля (в приближении Фраунгофера) каждый участок щели является источником плоских волн \pause вида $$dE=\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-k\Delta)}dx,$$ где $\Delta=x\sin\varphi.$ \pause

Амплитуда суммарного поля от щели под углом $\varphi,$ которое для наблюдения на экране собирается линзой в плоскости изображения, равна $$ E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=\left.\frac{E_{0}}{b}\frac{e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}}{\text{-}ik\sin\varphi}\right|_{0}^{b}= $$\pause $$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\frac{e^{i\frac{1}{2}kb\sin\varphi}-e^{-i\frac{1}{2}kb\sin\varphi}}{ik\sin\varphi}=$$ \pause $$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\frac{2\sin\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right)}{k\sin\varphi}= $$\pause $$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$ Тогда интенсивность

$$I\sim|E|^{2}\sim I_{0}\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$\pause

Найдём максимумы\pause:

$$\frac{dI}{du}=I_{0}\frac{d\left(\frac{\sin^{2}u}{u^{2}}\right)}{du}=\frac{2}{u^{2}}\sin u\cos u-\frac{2}{u^{3}}\sin^{2}u=0.$$\pause

следовательно $\text{tg}u=u$.\pause

Главный максимум будет при $u=0$\pause { } следующий недалеко от $u=\pi+\frac{\pi}{2}$.\pause

Если задачу решать точно, например в Maple, то $u\approx\pi+1.35$\pause { } — точность 15\%. \pause

Тогда $\text{sinc}^{2}u\approx0.047\approx\frac{1}{20}$

Рассмотрим, теперь две щели.

Тогда новый интеграл будет интегралом по двум щелям \pause

$$E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx+\int_{d}^{d+b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx.$$