3.73. Найти угловое распределение интенсивности при дифракции Фраунгофера в случае нормального падения света на решетку из $N$ щелей с периодом $d.$ Ширина щели $b$ ($d = a + b$).

Рассмотрим, теперь $N$ щелей, тогда интеграл будет по $N$ щелям

$$E=\sum_{n=0}^{N-1}\int_{dn}^{dn+b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx.$$

Произведём замену в $n$–том интеграле $x_{n}=x-dn$

$$E=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-inkd\sin\varphi}\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=$$ $$ \frac{1-e^{-iNkd\sin\varphi}}{1-e^{-ikd\sin\varphi}}\frac{E_{0}}{2b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right)=$$

$$\frac{e^{-i\frac{1}{2}Nkd\sin\varphi}}{e^{-i\frac{1}{2}kd\sin\varphi}}\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Nkd\sin\varphi\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}kd\sin\varphi\right)}\frac{E_{0}}{2b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$

Тогда интенсивность:

$$I=I_{0}\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Nkd\sin\varphi\right)}{N\sin\left(\frac{1}{2}kd\sin\varphi\right)}\right)^{2}\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right),$$

где теперь $I_{0}$ — интенсивность главного максимума.

График первой функции, при $N=10$: и график второй — квадрата «синкуса»: