4.18. Найти электромагнитное поле, угловое распределение и полную интенсивность, а также исследовать поляризацию при равномерном движении по окружности радиуса $a$ с частотой $\omega $ нерелятивистской частицы заряда $q$ ($v \ll c$).
Пусть частица вращается в плоскости $XY$ , а направление на точку
$Z$ наблюдения поля выберем в плоскости $YZ.$ Вторую производную от дипольного
момента $p=qr_{0}$ вращающейся частицы можно записать в виде
$$\ddot{p}_{x}=-\omega^{2}qa\cos\omega t,$$
$$\ddot{p}_{y}=-\omega^{2}qa\sin\omega t,$$
$$\ddot{p}_{z}=0.$$
Тогда интенсивность излучения в телесный угол
$$\frac{dI}{d\Omega}=\frac{cH^{2}}{4\pi}r^{2}=\frac{1}{4\pi c^{3}}\left(\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]\right)^{2}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}.$$
$$\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
p_{x} & p_{y} & 0\\
n_{x} & n_{y} & n_{z}
\end{array}\right|=p_{0}\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
\cos\omega t & \sin\omega t & 0\\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right|=$$
$$
p_{0}\left(\vec{i}\cos\theta\sin\omega t-\vec{j}\cos\theta\cos\omega t+\vec{k}\sin\theta\cos\omega t\right).$$
Для квадрата модуля:
$$\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}=p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta\sin^{2}\omega t+\cos^{2}\theta\cos^{2}\omega t+\sin^{2}\theta\cos^{2}\omega t\right)=$$ $$ p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\cos^{2}\omega t\right)$$ Если теперь усреднить по времени за один период, то $$\overline{\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}}=p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\overline{\cos^{2}\omega t}\right)=$$ $$ p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\frac{1}{2}\sin^{2}\theta\right)=\frac{1}{2}p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+1\right).$$ В итоге
$$\frac{\overline{dI}}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{8\pi c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right).$$ Осталось проинтегрировать $$\overline{I}=\intop_{0}^{\pi}\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right)\sin\theta d\theta=-\intop_{0}^{\pi}\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right)d\cos\theta=$$ $$-\left.\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\frac{\cos^{3}\theta}{3}+\cos\theta\right)\right|_{0}^{\pi}=\frac{2\omega^{4}q^{2}a^{2}}{3c^{3}}.$$
б)
Для определения поляризации необходимо найти значение поля. Магнитное поле в нашем случае выражается формулой $$\vec{H}=\frac{1}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]$$ $$\ddot{p}_{x}=-\omega^{2}qa\cos\omega t=-\omega^{2}p_{x},$$ $$\ddot{p}_{y}=-\omega^{2}qa\sin\omega t=-\omega^{2}p_{y},$$ $$\ddot{p}_{z}=0.$$ Мы уже вычисляли: $$\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ p_{x} & p_{y} & 0\\ n_{x} & n_{y} & n_{z} \end{array}\right|=p_{0}\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \cos\omega t & \sin\omega t & 0\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right|=$$ $$p_{0}\left(\vec{i}\cos\theta\sin\omega t-\vec{j}\cos\theta\cos\omega t+\vec{k}\sin\theta\cos\omega t\right),$$ тогда $$H_{x}=-\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}\cos\theta\sin\omega t,$$ $$H_{y}=\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}\cos\theta\cos\omega t,$$ $$H_{z}=-\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}\sin\theta\cos\omega t.$$ Для определения поляризации необходимо вычислить магнитное поле в локальной сферической системе координат, т.е. найти компоненты $H_{r},\,H_{\theta},\,H_{\varphi}$: $$H_{r}=H_{z}\cos\theta+H_{y}\sin\theta=H_0\left(-\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\right)=0,$$ $$H_{\theta}=H_{y}\cos\theta-H_{z}\sin\theta=H_0\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\right)\cos\omega t=H_0\cos\omega t,$$ $$H_{\varphi}=-H_{x}=H_0\cos\theta\sin\omega t,$$ где $H_0=\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}.$ Тогда эти компоненты связаны соотношением:
$$\left(\frac{H_{\theta}}{H_0}\right)^{2}+\left(\frac{H_{\varphi}}{H_0\cos\theta}\right)^{2}=1$$ В общем случае поляризация эллиптическая, но при $\theta=0;\pi$ — круговая, а при $\theta=\frac{\pi}{2}$ — линейная.