4.27. Показать, что при столкновении двух заряженных частиц с одинаковым отношением $\frac{e_i}{m_i}$ электрическое дипольное излучение отсутствует.

Найдём излучение в дипольном приближении $I=\frac{2\ddot{p}^{2}}{3c^{3}}$, для этого найдём дипольный момент: $\vec{p}=\sum q_{i}\vec{r}_{i}$ и его вторую производную: $$\ddot{\vec{p}}=\sum q_{i}\ddot{\vec{r}}_{i}=\sum q_{i}\vec{a}_{i}=q_{1}\vec{a}_{1}+q_{2}\vec{a}_{2}=$$ $$q_{1}\frac{q_{1}q_{2}\left(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right)}{m_{1}\left|\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right|^{3}}+q_{2}\frac{q_{1}q_{2}\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)}{m_{2}\left|\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right|^{3}}=$$ $$\frac{q_{1}q_{2}\left(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right)}{\left|\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right|^{3}}\left(\frac{q_{1}}{m_{1}}-\frac{q_{2}}{m_{2}}\right)=0.$$