Это старая версия документа!

4.5. Из решения предыдущей задачи найти поле в ближней (квазистационарной) зоне $r\ll \lambda .$ Показать, что для магнитного поля получается формула закона Био–Савара, а для электрического — поле диполя.

Магнитное поле:

$$B_{\alpha}=\left(\frac{\omega}{c}+\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta\approx$$\pause $$ \frac{i\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega t}\sin\theta\pause=\frac{1}{cr^{2}}\frac{\partial}{\partial t}p_{0}e^{i\omega t}\sin\theta\pause=\frac{1}{cr^{2}}\frac{\partial}{\partial t}q\ell_{0}e^{i\omega t}\sin\theta\pause=$$ $$\frac{J}{cr^{2}}\ell_{0}\sin\theta\pause=\frac{J\left[\vec{r}\times\vec{\ell}_{0}\right]}{cr^{3}}.$$

Электрическое поле \pause $$E_{r}=2\left(\frac{1}{r}-\frac{i\omega}{c}\right)\frac{p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\cos\theta}{r^{2}}\approx$$\pause $$ 2\frac{p_{0}e^{i\omega t}\cos\theta}{r^{3}}\pause=2\frac{p\cos\theta}{r^{3}},$$ \pause $$E_{\theta}=\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}+\frac{i\omega}{rc}\right)\frac{p_{0}\sin\theta e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}}{r}\approx$$\pause $$ \frac{p_{0}\sin\theta e^{i\omega t}}{r^{3}}\pause=\frac{p\sin\theta}{r^{3}}.$$