Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны, падающей под углом $\varphi_{1}$ на плоскую границу между средами с диэлектрическими $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$ и магнитными проницаемостями $\mu_{1},\mu_{2}.$ (Вывести формулы Френеля.)
На границе раздела свяжем тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей.
Рассмотрим сначала TE–волну, т.е. такую линейно–поляризованную волну в которой электрическое поле имеет только тангенциальную компоненту, а магнитное поле как тангенциальную, так и нормальную.
$$E+E_{1}=E_{2}, \ \ \ H\sin\varphi+H_{1}\sin\varphi_{1}=H_{2}\sin\varphi_{2},$$
где $\varphi$ — угол падения к нормали. Запишем магнитное поле через электрическое:
$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H},$$ вспоминая, что $k=k_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}$
запишем
$$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H},$$ где $\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ — направление распространения волны, тогда выбрав за направление $z$ направление распространения падающей волны, запишем условие для магнитного поля через электрическое:
$$\left\{ \begin{array}{l} E+E_{1}=E_{2}\\ \left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}E_{2}\cos\varphi_{2} \end{array}\right.$$
найдём
$$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\left(E+E_{1}\right)\cos\varphi_{2}$$
$$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)$$
$$E_{1}^{TE}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}},$$
$$E_{2}^{TE}=\frac{2E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}.$$
Для расчёта коэффициента отражения и прохождения необходимо использовать отношение потоков энергии, т.е. векторов Пойтинга
$$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}E^{2}\vec{n}.$$
Коэффициент отражения:
$$\rho_{r}^{TE}=\frac{S_{1}}{S}=\frac{E_{1}^{2}}{E^{2}}=\left(\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}\right)^{2},$$
коэффициент прохождения найдём из закона сохранения энергии $\rho_{r}+\rho_{d}=1$:
$$\rho_{d}^{TE}=1-\rho_{r}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}.$$
Для TМ–волны, т.е. линейно–поляризованной волны в которой магнитное поле имеет только тангенциальную компоненту, а электрическое поле как тангенциальную, так и нормальную, первоначальные уравнения поменяются местами.
$$\left\{ \begin{array}{l} H+H_{1}=H_{2}\\ \left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} \end{array}\right.$$
Всё выражая через электрическое поле:
$$\left\{ \begin{array}{l} \left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}=E_{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\\ \left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} \end{array}\right.$$
Решим систему:
$$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}$$
$$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)$$
$$E_{1}^{TM}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}$$
$$E_{2}^{TM}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\right)^{-1}=\frac{E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}.$$
Тогда коэффициент отражения:
$$\rho_{r}^{TM}=\left(\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}\right)^{2}$$
коэффициент прохождения:
$$\rho_{d}^{TM}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}.$$