Это старая версия документа!

Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны, падающей под углом $\varphi_{1}$ на плоскую границу между средами с диэлектрическими $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$ и магнитными проницаемостями $\mu_{1},\mu_{2}.$

На границе раздела свяжем тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей. Рассмотрим сначала TE–волну, т.е. такую линейно–поляризованную волну в которой электрическое поле имеет только тангенциальную компоненту, а магнитное поле как тангенциальную, так и нормальную:

$E+E_{1}=E_{2}$, $H\sin\varphi+H_{1}\sin\varphi_{1}=H_{2}\sin\varphi_{2},$

где $\varphi$ — угол падения к нормали. Запишем магнитное поле через электрическое:

$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H}$, вспоминая, что $k=k_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}$

запишем

$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H}$, где $\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ — направление распространения волны, тогда выбрав за направление $z$ направление распространения падающей волны, запишем условие для магнитного поля через электрическое:

$\left\{ \begin{array}{l} E+E_{1}=E_{2}
\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}E_{2}\cos\varphi_{2} \end{array}\right.$

найдём

$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\left(E+E_{1}\right)\cos\varphi_{2}$

$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)$

$E_{1}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}$, $E_{2}=\frac{2E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}$

Для расчёта коэффициента отражения и прохождения необходимо использовать отношение потоков энергии, т.е. векторов Пойтинга

$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}E^{2}\vec{n}$

Коэффициент отражения: $\rho_{r}^{TE}=\frac{S_{1}}{S}=\frac{E_{1}^{2}}{E^{2}}=\left(\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}\right)^{2}$,

коэффициент прохождения найдём из закона сохранения энергии $\rho_{r}+\rho_{d}=1$:

$\rho_{d}^{TE}=1-\rho_{r}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}$

Для TМ–волны, т.е. линейно–поляризованной волны в которой магнитное поле имеет только тангенциальную компоненту, а электрическое поле как тангенциальную, так и нормальную, первоначальные уравнения поменяются местами:

$\left\{ \begin{array}{l} H+H_{1}=H_{2}
\left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} \end{array}\right.$

Всё выражая через электрическое поле:

$\left\{ \begin{array}{l} \left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}=E_{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}
\left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} \end{array}\right.$

Решим систему:

$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}$

$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)$

$E_{1}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}$

$E_{2}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\right)^{-1}=\frac{E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}$

Тогда коэффициент отражения: $\rho_{r}^{TM}=\left(\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}\right)^{2}$

коэффициент прохождения:

$\rho_{d}^{TM}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}$