4.71. Плоская монохроматическая волна с круговой поляризацией и длиной волны $\lambda $ рассеивается на двух электронах, находящихся на расстоянии $\frac \lambda 4$ друг от друга. Волна идет вдоль линии, соединяющей электроны. Найти поляризацию и отношение интенсивностей в продольном и поперечном направлениях.

Для первого заряда

$$E_{x}=E_{0}\cos\omega t,\,E_{y}=E_{0}\sin\omega t$$ тогда $$\ddot{d}_{x}=-\frac{\omega^{2}e^{2}}{m}E_{0}\cos\omega t,\,\ddot{d}_{y}=-\frac{\omega^{2}e^{2}}{m}E_{0}\sin\omega t.$$ Таким образом получили два заряда с вращающимися в плоскости XY дипольными моментами, как в задаче 4.18. $$ \frac{\overline{dI}}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{8\pi c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right). $$ Тогда под углом $\theta=\frac{\pi}{2}$ магнитное поле будет только, например, от $\ddot{d}_{x}$ $$H=H_{1}+H_{2}=\frac{\ddot{d}_{1}+\ddot{d}_{2}}{c^{2}r}=-\frac{\omega^{2}e^{2}}{m}E_{0}\frac{\sin\omega t+\sin\left(\omega t-k\frac{\lambda}{4}\right)}{c^{2}r}=$$ $$-\frac{\omega^{2}e^{2}}{m}E_{0}\frac{\sin\omega t+\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)}{c^{2}r}=$$ $$-\frac{\omega^{2}e^{2}}{m}E_{0}\frac{\sin\omega t+\cos\omega t}{c^{2}r}=-\frac{\sqrt{2}\omega^{2}e^{2}}{m}E_{0}\frac{\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{4}\right)}{c^{2}r}.$$ Следовательно интенсивность в перпендикулярном направлении от двух электронов $$I_{\bot}\sim H^{2}=2H_{1}^{2}\sim2I_{1}$$ будет в два раза больше, чем от одного. Под углом $\theta=0$ магнитное поле будет от обеих компонент $\ddot{d}_{x}$ и $\ddot{d}_{y}$.

Поле для одной компоненты: $$H_{x}=H_{x1}+H_{x2}= H_{x1}+e^{-i\frac{\pi}{2}+ik\frac{\lambda}{4}\cos\alpha}H_{x1}= $$ $$ H_{x1}\left(1+e^{i\frac{\pi}{2}\left(\cos\alpha-1\right)}\right).$$

Следовательно в продольном направлении поле увеличится в два раза, тогда $$I_{x\Vert}\sim H_{x}^{2}= (2H_{x1})^{2}\sim4I_{1}.$$ Но для второй компоненты интенсивность будет точно такой же, поля взаимно перпендикулярны (при разложении круговой поляризации в сумму двух линейных) — они не интерферируют, следовательно, складываются интенсивности:

$$I_{\Vert}=I_{x\Vert}+I_{y\Vert}=2I_{x\Vert}=8I_{1}.$$ Таким образом отношение: $$\frac{I_{\Vert}}{I_{\bot}}=\frac{8I_{1}}{2I_{1}}=4.$$