Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.28 [2019/09/13 10:03] – создано root
+++ electrodynamics:res1.28 [2020/09/19 18:27] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+.28. Найти силу и вращательный
+момент, приложенные к электрическому диполю с моментом $\vec{p}$ в
+поле точечного заряда $q$.
+-----
 {{:electrodynamics:выделение_049.jpg?direct&200 |}}
 Сила, действующая на диполь в поле
 точечного заряда $q$,
-  является суммой сил, действующих на заряды диполя со стороны
+является суммой сил, действующих на заряды диполя со стороны
- заряда $q$:
+заряда $q$:
 \begin{equation}
-\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}),
+(1) \hspace{10pt} \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}),
 \end{equation}
- где $\vec{E_1}$ -- напряженность  электрического  поля,
+где $\vec{E_1}$ --- напряженность  электрического  поля,
-   создаваемая  зарядом $q$ в точке нахождения отрицательного заряда диполя
+создаваемая  зарядом $q$ в точке нахождения отрицательного заряда диполя
-($-Q$); $\vec{E_2}$ -- в точке нахождения положи-
+($-Q$); $\vec{E_2}$ --- в точке нахождения положительного заряда диполя. Если расстояние между зарядами диполя
-\begin{wrapfigure}[6]{l}{4cm}
-\vspace{-0.5cm} \hspace{0.5cm}
-\includegraphics[width=3.0cm]{ris12.eps}
-\end{wrapfigure}
-тельного заряда диполя. Если расстояние между зарядами диполя
 мало по сравнению с расстоянием, на котором находится диполь от
 заряда, то поле $\vec{E_2}$  можно разложить в ряд Тейлора и
 оставить в нем два первых отличных от нуля члена
-$$\vec{E_2}=\vec{E}(\vec{R}+\vec{\ell})=$$ $$=\vec{E}(\vec{R})+
+$$
-  \ell_x\frac{\partial\vec{E}}{\partial x}\;+\;
+\vec{E_2}=\vec{E}\Bigl(\vec{R}+\vec{\ell}\Bigr)\approx$$
-  \ell_y\frac{\partial\vec{E}}{\partial y}\;+\;
+$$\vec{E}(\vec{R})+
-  \ell_z\frac{\partial\vec{E}}{\partial z}\approx
+\ell_x\frac{\partial\vec{E}}{\partial x}\;+\;
-  \vec{E_1}\;+\;(\vec{\ell}\,\vec{\nabla})\vec{E},$$
+\ell_y\frac{\partial\vec{E}}{\partial y}\;+\;
- где $(\vec{\ell}\,\vec{\nabla})$ -- скалярное произведение  вектора
+\ell_z\frac{\partial\vec{E}}{\partial z} =$$
- $\vec{\ell}$  и  вектора  $\vec{\nabla}\!=\!\Big(\vec{i}\frac{\partial}
+$$
- {\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+
+\vec{E_1}\;+\;(\vec{\ell}\,{\nabla})\vec{E},
-  \vec{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\Big)$.
+$$
- Подставим $\vec{E_2}$ в уравнение (1) и  учитывая,
+где $(\vec{\ell}\,{\nabla})$ --- скалярное произведение  вектора
- что $\vec{P}=Q\vec{\ell}$, $\vec{E}=\frac{Q}{R^3}\vec{R}$,  находим
+$\vec{\ell}$  и  вектора  ${\nabla}\!=\!\Big(\vec{i}\frac{\partial}
-  выражение для силы, действующей на диполь
+{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+
- со стороны точечного заряда:
+\vec{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\Big)$.
+Подставим $\vec{E_2}$ в уравнение (1) и  учитывая,
+что $\vec{P}=Q\vec{\ell}$, $\vec{E}=\frac{Q}{R^3}\vec{R}$,  находим
+выражение для силы, действующей на диполь
+со стороны точечного заряда:
 \begin{equation}
-\vec{F}=(\vec{P}\vec{\nabla})\frac{q}{R^3}\vec{R}=
+(2) \hspace{10pt} \vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\frac{q}{R^3}\vec{R}=
- q\,\bigg(P_x\frac{\partial}{\partial x}\;+\;
+q\,\bigg(P_x\frac{\partial}{\partial x}\;+\;
-  P_y\frac{\partial}{\partial y}\;+\;
+P_y\frac{\partial}{\partial y}\;+\;
-  P_z\frac{\partial}{\partial z}\bigg)\,\frac{\vec{R}}{R^3}.
+P_z\frac{\partial}{\partial z}\bigg)\,\frac{\vec{R}}{R^3}.
 \end{equation}
- Так как
+Так как
 $$P_x\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\vec{R}}
- {R^3}\biggr)=P_x\biggl(\frac{1}{R^3}\frac{\partial\vec{R}}
+{R^3}\biggr)=P_x\biggl(\frac{1}{R^3}\frac{\partial\vec{R}}
- {\partial x}+\vec{R}\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(
+{\partial x}+\vec{R}\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(
- \frac{1}{R^3}\Bigr)\biggr)=
+\frac{1}{R^3}\Bigr)\biggr)=
 P_x\biggl(\frac{\vec{i}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}x\biggr)\;,$$
- то аналогично
+то аналогично
 $$P_y\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\vec{R}}
- {R^3}\biggr)=
+{R^3}\biggr)=
- P_y\biggl(\frac{\vec{j}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}y\biggr)\;,\;\;
+P_y\biggl(\frac{\vec{j}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}y\biggr)\;,\;\;
- P_z\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\frac{\vec{R}}
+P_z\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\frac{\vec{R}}
- {R^3}\biggr)=
+{R^3}\biggr)=
- P_z\biggl(\frac{\vec{k}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}z\biggr)\;,$$
+P_z\biggl(\frac{\vec{k}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}z\biggr)\;,$$
- где $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ -- единичные векторы в
+где $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ --- единичные векторы в
- направлениях соответственно $X$,~$Y$,~$Z$. Подставляя вычисленные
+направлениях соответственно $X$, $Y$, $Z$. Подставляя вычисленные
- соотношения в уравнение (2), получаем
+соотношения в уравнение (2), получаем
+<WRAP center round box 60%>
 \begin{equation}
- \vec{F}=q\biggl(\frac{\vec{P}}{R^3}-
+(3) \hspace{10pt} \vec{F}=q\biggl(\frac{\vec{P}}{R^3}-
-         \frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}\biggr)\;.
+\frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}\biggr)\;.
 \end{equation}
- Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда, равна
+</WRAP>
- по  абсолютной величине и противоположна по направлению силе,
- действующей на заряд в поле диполя.
+Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда, равна
- Поэтому из формулы (3) следует, что поле, создаваемое диполем в точке,
+по  абсолютной величине и противоположна по направлению силе,
- определяемой радиус-вектором $\vec{R}$
+действующей на заряд в поле диполя.
- на больших расстояниях,  будет иметь вид
+Поэтому формулу (3) можно получить и из предыдущей [[res1.27|задачи 1.27]] по полю диполя:
-$$\vec{E}_\text{дип}=-\frac{\vec{P}}{R^3}+
+$$
-         \frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}.$$
+\vec{E}_\text{дип}=-\frac{\vec{P}}{R^3}+
+\frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}.
+$$
+Момент сил, действующий на диполь во внешнем поле $\vec{E}$,
+равен $\vec{N}=[\vec{P}\times\vec{E}]$. Подставляя в эту  формулу поле
+точечного  заряда \\ $\vec{E}=q\frac{\vec R}{R^3}$, получаем
+<WRAP center round box 60%>
+$$
+\vec{N}=q\frac{[\vec{P}\times\vec{R}]}{R^3},
+$$
- Момент сил, действующий на диполь во внешнем поле $\vec{E}$,
+</WRAP>
- равен $\vec{N}=[\vec{P}\times\vec{E}]$. Подставляя в эту  формулу поле
+где $\vec{R}$ --- радиус--вектор, проведенный из точки нахождения
- точечного  заряда \\ $\vec{E}=q\vec{R}/R^3$, получаем
+точечного заряда $q$ в точку, где находится диполь.
-$$\vec{N}=q\frac{[\vec{P}\times\vec{R}]}{R^3},$$
- где $\vec{R}$ -- радиус-вектор, проведенный из точки нахождения
- точечного заряда $q$ в точку, где находится диполь.
+С другой стороны момент можно подсчитать и непосредственно, воспользовавшись формулой:
+$$
+\vec{N}=\sum \limits _{i}[\vec{r}_{i}\times\vec{F_{i}}],
+$$
+где $\vec{r}_{i}$ --- радиус векторы приложенных сил рассмотрим относительно некоторой точки на оси соединяющей заряды диполя --- $\vec r_1 = \vec b, \vec r_2 = \vec a+\vec b$, тогда:
+$$
+\vec{N}=[\vec{b}\times\vec{F}_{-e}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{F}_{+e}]=\frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{R}+\vec{a})]=
+$$
+$$
+\frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\approx
+$$
+$$
+\frac{eq}{R^{3}}\left(-[\vec{b}\times\vec{R}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\right)=\frac{eq}{R^{3}}[\vec{a}\times\vec{R}]=\frac{q}{R^{3}}[\vec{P}\times\vec{R}].
+$$