electrodynamics:res1.49

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.49 [2019/09/11 15:43] – создано rootelectrodynamics:res1.49 [2019/12/24 17:04] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
- Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа+1.49. Плоскость $z=0$  заряжена с плотностью $\sigma \left( {x,y} 
 +\right) = \sigma _0 \sin \left( {\alpha x} \right) \cdot \sin 
 +\left( {\beta y} \right)$, где $\sigma_0,\alpha,\beta$ -- 
 +постоянные. Найти потенциал этой системы зарядов. 
 + 
 +----- 
 + 
 +Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа
 \begin{equation} \begin{equation}
  \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+  \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+
Строка 12: Строка 19:
  Поскольку поверхностная плотность $\sigma$  есть произведение  Поскольку поверхностная плотность $\sigma$  есть произведение
  двух функций, одна из которых зависит только от координаты  двух функций, одна из которых зависит только от координаты
- $x$, а другая от $y$, будем искать решение уравнения~(1) в виде+ $x$, а другая от $y$, будем искать решение уравнения Лапласа в виде
 \begin{equation} \begin{equation}
- \varphi(x,y,z)=f_1(x)\cdot f_2(y)\cdot f_3(z).+ \varphi(x,y,z)=\sin\alpha x \cdot \sin\beta y\cdot f_3(z).
 \end{equation} \end{equation}
- Подставим  функцию (3) в уравнение (1) и поделим каждое+ Подставим  функцию $\varphi(x,y,z)$ в уравнение Лапласа и поделим каждое
  слагаемое на $\varphi$, получим  слагаемое на $\varphi$, получим
 \begin{equation} \begin{equation}
  \frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=  \frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=
- -\biggl(\frac{f''_1(x)}{f_1(x)}+ + -\biggl(\frac{(\sin\alpha x)''}{\sin\alpha x}+ \frac{(\sin\beta y)''}{\sin\beta y}\biggr).
- \frac{f''_2(y)}{f_2(y)}\biggr).+
 \end{equation} \end{equation}
-  Чтобы уравнение (4) удовлетворялось при всех $x$, $y$, $z$, +Чтобы это уравнение удовлетворялось при всех $x$, $y$, $z$, 
-  нужно приравнять каждое слагаемое константе. Пусть +нужно приравнять каждое слагаемое константе. Пусть 
-$$\frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=-\gamma^2.$$+$$\frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=\gamma^2=\alpha ^2 + \beta ^2.$$
  
-  Общим решением этого уравнения является функция+Общим решением этого уравнения является функция
 $$f_3(z)=A e^{\textstyle -\gamma z}+B\,e^{\textstyle\gamma z}.$$ $$f_3(z)=A e^{\textstyle -\gamma z}+B\,e^{\textstyle\gamma z}.$$
  
-  Понятно, что при стремлении $z\to\pm\infty\,,\;$ $f_3(z)$ +Понятно, что при стремлении $z\to\pm\infty\,,\;$ $f_3(z)$ 
- не должна стремиться  к бесконечности, поскольку поле создается +не должна стремиться  к бесконечности, поскольку поле создается 
-  знакопеременными зарядами. Этому условию можно удовлетворить, +знакопеременными зарядами. Этому условию можно удовлетворить, 
- если записать  решение, например, так:+если записать  решение, например, так:
 $$f_3(z)=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}.$$ $$f_3(z)=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}.$$
-  Пусть+ 
 +Тогда: /*
 $$\frac{f''_1(x)}{f_1(x)}=-\gamma_1^2\,,\;\;\; $$\frac{f''_1(x)}{f_1(x)}=-\gamma_1^2\,,\;\;\;
  \frac{f''_2(y))}{f_2(y)}=-\gamma_2^2\,,\;\;\;  \frac{f''_2(y))}{f_2(y)}=-\gamma_2^2\,,\;\;\;
  \gamma^2=\gamma_1^2+\gamma_2^2.$$  \gamma^2=\gamma_1^2+\gamma_2^2.$$
- Решениями этих уравнений являются гармонические функции. Чтобы удовлетворить гармоническому условию (2), нужно   выбрать:+ 
 +Решениями этих уравнений являются гармонические функции. Чтобы удовлетворить гармоническому условию (2), нужно   выбрать:
 $$f_1(x)=\sin\alpha x\,,\quad \alpha^2=\gamma_1^2\,;\quad $$f_1(x)=\sin\alpha x\,,\quad \alpha^2=\gamma_1^2\,;\quad
  f_2(y)=\sin\beta y\,,\quad \gamma_2^2=\beta^2;$$  f_2(y)=\sin\beta y\,,\quad \gamma_2^2=\beta^2;$$
-значит,  $\gamma=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.  Итак,+значит,  $\gamma=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.  Итак, */
 $$\varphi=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$ $$\varphi=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$
  
-      Нормальная составляющая электрического поля $E_z=-+Нормальная составляющая электрического поля $E_z=-
  \partial\varphi/\partial z.$  \partial\varphi/\partial z.$
-  Поэтому+ 
 +Поэтому
 $$E_{2z}\big|_{z=0}=\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y,$$ $$E_{2z}\big|_{z=0}=\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y,$$
 $$E_{1z}\big|_{z=0}=-\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$ $$E_{1z}\big|_{z=0}=-\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$
-  Подставляя эти выражения в уравнение (2), найдем, что $A=2\sigma_0/\gamma$. + 
-  Окончательно распределение потенциала будет иметь вид +Подставляя эти выражения в уравнение $E_{2z}\big |_{z=0}-E_{1z}\big |_{z=0}=4\pi\sigma$, найдем, что $A=2\sigma_0/\gamma$. 
-$$\varphi(x, y, z)=\frac{2\sigma_0}{\gamma} + 
-        \,e^{\textstyle -\gamma|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y,$$ +Окончательно распределение потенциала будет иметь вид 
-    где  $\gamma=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.+<WRAP center round box 60%> 
 +$$ 
 +\varphi(x, y, z)=\frac{2\sigma_0}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} 
 +\,e^{\textstyle -\sqrt{\alpha^2+\beta^2}|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y. 
 +$$ 
 + 
 +</WRAP>