Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- f2s11 [2024/04/23 07:01] – root
+++ f2s11 [2025/04/17 16:16] (текущий) – [Дифракция быстрых электронов.] root
@@ Строка 39: / Строка 39: @@
 определяется законом смещения Вина: $$\lambda _{max}\approx \frac{0,0029}{T}.$$
-}
 [[z11-2|Задача 2]]
-	Оцените температуру на поверхности Солнца, зная угловой размер Солнца --- $\alpha = 32'$ и среднюю температуру на Земле --- $10$°С, считая Землю абсолютно чёрным телом.
-	Вычислите на какую длину волны приходится максимум солнечного излучения. Какой это цвет?
-Обозначим радиус Солнца $R_C,$ а расстояние до Солнца за $L.$
-Полная мощность излучения Солнца (всей его поверхностью) по закону Стефана--
-Больцмана равна:
-$$
-I_C=\sigma T_C^4\cdot 4\pi R_C^2 .
-$$
-Эта мощность излучается изотропно в полный телесный угол $4\pi $. На Землю приходится лишь её часть, которую можно найти, вычислив отношение телесного угла $\Omega $, под которым видна наша планета с Солнца
-$$
-\Omega =\frac{\pi R_{\text{з}}^2}{L^2}.
-$$
-к полному телесному углу --- $4\pi $.
-Таким образом, на Землю поступает мощность:
-$$
-I_{\text{з}}=I_C\frac{\Omega}{4\pi}= \sigma T_C^4 4\pi R_C^2 \cdot \frac{\pi R_{\text{з}}^2}{L^2}\frac{1}{4\pi} =
-\sigma T_C^4 R_C^2 \cdot \frac{\pi R_{\text{з}}^2}{L^2} .
-$$
-В то же время чтобы быть в термодинамическом равновесии, Земля излучает ровно
-столько же, сколько поглощает.  По закону Стефана--Больцмана:
-$$
-I_{\text{з}}=\sigma T_{\text{з}}^4\cdot 4\pi R_{\text{з}}^2 .
-$$
-Приравнивая и сокращая, получим:
-$$
-T_{\text{з}}^4\cdot 4 =
-T_C^4 R_C^2 \cdot \frac{1}{L^2},
-$$
-тогда
-$$
-T_C=T_{\text{з}}\sqrt{\frac{2L}{R_C}}
-=T_{\text{з}}\sqrt{\frac{4}{\alpha }}.
-$$
-Угол
-$$
-\alpha = \frac{L}{2R_C}=32'=\left(\frac{32}{60}\right)^{\circ }
-=\frac{\pi}{180^{\circ }}\left(\frac{32}{60}\right)^{\circ }\approx 0,0093 \text{ рад}.
-$$
-Окончательно получим:
-$$
-T_C=T_{\text{з}}\sqrt{\frac{4}{\alpha }}=283 \sqrt{\frac{4}{0,0093 }}\approx 6000 \ K.
-$$
-Согласно закону Вина максимум излучения Солнца приходится на длину волны:
-$$\lambda _{max}\approx \frac{0,0029}{T} \approx 5\cdot 10^{-7} \text{ м}= 500 \text{ нм}.$$
 =====Дифракция быстрых электронов.=====
@@ Строка 106: / Строка 55: @@
 Частица ведёт себя как волна с длиной волны (де Бройля):
 $$
-\lambda \frac hp=\frac{2\pi \hbar}{p},
+\lambda =\frac hp=\frac{2\pi \hbar}{p},
 $$
 где $p$ --- импульс частицы.
@@ Строка 137: / Строка 86: @@
 [[z11-3|Задача 3]]
-Какую разность потенциалов прошёл электронный пучок, если известно, что под
-углом 0,57° к поверхности кристаллического кремния наблюдается
-дифракционный максимум первого порядка. Известно, что межплоскостное
-расстояние в кристалле кремния равно 0,312 нм.
-Проходя разность потенциалов, по закону сохранения энергии электрон приобретает
-импульс
-$$
-p=\sqrt{eU\cdot 2m_e},
-$$
-Тогда длина волны де Бройля электрона равна:
-$$
-\lambda= \frac{2\pi \hbar}{p}=\frac{2\pi \hbar}{\sqrt{eU\cdot 2m_e}}.
-$$
-Из условия Вульфа-Брэгга:
-$$
-\lambda=2d\sin \theta ,
-$$
-приравнивая получим:
-$$
-d\sin \theta = \frac{2\pi \hbar}{\sqrt{eU\cdot 2m_e}},
-$$
-окончательно выражая разность потенциалов:
-$$
-U=\frac{\pi^2\hbar^2}{2em_ed^2\sin^2\theta }\approx 40 \text{ кВ.}
-$$
@@ Строка 195: / Строка 117: @@
 [[z11-4|Задача 4]]
-Оцените энергию основного состояния частицы в следующих потенциалах:
-а) бесконечная прямоугольная яма шириной $a$;
-б) параболическая яма $U(x)=\frac 12 m\omega^2x^2$;
-в) кулоновский потенциал $U(r)=-\frac{e^2}{r}$.
-			\includegraphics[scale=0.5]{01}
-Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$. Тогда неопределённость в
-импульсе имеет порядок:
-$$
-\Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}.
-$$
-Энергия частицы связана с импульсом соотношением:
-$$
-E=\frac{p^2}{2m}.
-$$
-Энергию основного состояния можно оценить, как:
-$$
-E_0=\frac{(\Delta p)^2}{2m}=\frac{\hbar ^2}{8ma^2}.
-$$
-	\includegraphics[scale=0.4]{02}
-Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$.  Тогда неопределённость в
-импульсе имеет порядок:
-$$
-\Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}.
-$$
-Энергия частицы связана с импульсом соотношением:
-$$
-E=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2 x^2}{2}.
-$$
-Выразим энергию через неопределённость в координате:
-$$
-E=\frac{(\Delta p)^2}{2m}+\frac{m\omega^2 (\Delta x)^2}{2}=
-\frac{\hbar ^2}{8ma^2}+\frac{m\omega^2 a^2}{2}.
-$$
-Найдём минимум этого выражения по $a$. Продифференцируем это выражение по $a$:
-$$
-\frac{d}{da}
-E=-2\frac{\hbar ^2}{8ma^3}+2\frac{m\omega^2 a}{2}=0.
-$$
-Решая это уравнение, найдём точку экстремума:
-$$
-a=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}.
-$$
-Подставив это значение в энергию, получим оценку основного состояния:
-$$
-E=\frac{\hbar ^2}{8m\left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right) }+\frac{m\omega^2 \left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right)}{2} = \frac 12\hbar \omega .
-$$