Корпускулярно-волновой дуализм. Фотоэффект.
Одной из предпосылок создания квантового механики стала так называемая «ультрафиолетовая катастрофа» — парадокс классической физики, состоящий в том, что полная мощность теплового излучения любого нагретого тела должна быть бесконечной. Название парадокс получил из–за того, что спектральная плотность энергии излучения должна была неограниченно расти по мере сокращения длины волны. Планк разрешил эту проблему, предположив, что излучение происходит квантами, и как следствие, спектральная мощность излучения абсолютно черного тела в зависимости от температуры и частоты определяется законом (законом Планка): $$ I(\omega , T)=\frac{\hbar \omega ^3}{2\pi ^2c^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)-1}. $$
Абсолютно чёрное тело — тело, находящееся в термодинамическом равновесии со своим излучением, тело, поглощающее всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах и ничего не отражающее. Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой.
Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана — Больцмана, который гласит:
Мощность излучения абсолютно чёрного тела (интегральная мощность по всему спектру), приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела: $$ I(T)=\sigma T^4=\frac{\pi^2 k^4}{60\hbar ^3 c^2} T^4, $$ $\sigma \approx 5,67\cdot 10^{-8}$ Вт/м$^2$К$^4$ — константа Стефана–Больцмана.
Длина волны, при которой энергия излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина: $$\lambda _{max}\approx \frac{0,0029}{T}.$$
Дифракция быстрых электронов.
Развивая идеи корпускулярно-волнового дуализма Луи де Бройль выдвинул в 1923 году гипотезу о том, что не только фотоны, но и электроны, и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.
Частица ведёт себя как волна с длиной волны (де Бройля): $$ \lambda \frac hp=\frac{2\pi \hbar}{p}, $$ где $p$ — импульс частицы.
Для макрообъектов эта длина волны ничтожна. Например, частице с массой в 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с $6,6 \cdot 10^{-34}$ м. Поэтому волновые свойства несущественны для макроскопических тел.
Соотношение между длиной волны, межатомными расстояниями и углами описывается уравнением Брэгга. Если известна длина излучаемой и угол дифракции, то с помощью уравнения Брэгга может быть вычислено межплоскостное расстояние. Условие Вульфа– Брэгга: $$ 2d\sin \theta = m\lambda . $$
Для структурного анализа часто используют рентгеновское излучение, но можно использовать электронный пучок (на этом основана вся электронная микроскопия). Преимущество — не опасное излучение, «любые» длины волн, возможность управления заряженным пучком с помощью ЭМ–линз, тогда как для рентгена линз нет.
Дифракция быстрых электронов — метод исследования структуры поверхности твердых тел, основанный на анализе картин дифракции электронов с энергией 5–100 кэВ, упруго рассеянных от исследуемой поверхности под скользящими углами.
Соотношение неопределённостей.
В квантовой механике невозможно ввести понятия траектории, но состояние частицы можно характеризовать волновой функцией — квадрат которой пропорционален плотности вероятности обнаружить частицу в определённой области пространства. Волновая функция удовлетворяет уравнению Шрёдингера: $$ \widehat{H}\Psi =E\Psi, $$ где $$ \widehat{H}=\frac{\widehat{p}^2}{2m}+\widehat{U}(x,y,z)= \frac{(-i\hbar \nabla)^2}{2m}+\widehat{U}(x,y,z)= -\frac{\hbar^2\Delta }{2m}+\widehat{U}(x,y,z) $$ — оператор Гамильтона (Гамильтониан), $\Psi $ — волновая функция.
Принцип неопределённости Гейзенберга в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами. Например, координаты и импульса: $$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}. $$ Чем точнее мы измеряем координату частицы, тем меньше известно о его импульсе, и наоборот. Поэтому в квантовой механике, в отличие от классической, у частицы нет траектории!