f2s3

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
f2s3 [2026/02/16 02:34] – rootf2s3 [2026/02/16 02:44] (текущий) – [Задача 4] root
Строка 51: Строка 51:
  
 **Ответ:** Индуктивность катушки должна быть равна \(\displaystyle L = \frac{55}{2\pi^2}\) Гн \(\approx 2.79\) Гн. **Ответ:** Индуктивность катушки должна быть равна \(\displaystyle L = \frac{55}{2\pi^2}\) Гн \(\approx 2.79\) Гн.
 +
 +====== Задача 3 ======
 +
 +**Рассмотрение последовательного колебательного контура. Знакомство с лоренцевским контуром.**
 +
 +### Последовательный колебательный контур
 +
 +Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности \(L\), конденсатора \(C\) и резистора \(R\) (активного сопротивления потерь), соединённых последовательно с источником переменной ЭДС (рис. 1). Уравнение цепи во временной области:
 +
 +\[
 +L \frac{di}{dt} + iR + \frac{1}{C} \int i \, dt = e(t).
 +\]
 +
 +В комплексной форме для гармонического сигнала \(e(t) = E_m e^{j\omega t}\):
 +
 +\[
 +\dot{I} = \frac{\dot{E}}{Z}, \quad Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right).
 +\]
 +
 +Модуль тока:
 +
 +\[
 +I(\omega) = \frac{E_m}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}}.
 +\]
 +
 +Резонанс наступает при \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), когда реактивное сопротивление равно нулю. При резонансе ток максимален: \(I_{\text{max}} = E_m / R\).
 +
 +### Лоренцевский контур
 +
 +Лоренцевским называют колебательный контур, у которого частотная зависимость амплитуды тока (или напряжения на элементе) вблизи резонанса описывается лоренцевой кривой (формулой Лоренца). Такая форма возникает, например, для квадрата амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) тока:
 +
 +\[
 +I^2(\omega) = \frac{I_{\text{max}}^2}{1 + \left(2Q \frac{\omega - \omega_0}{\omega_0}\right)^2},
 +\]
 +
 +где \(Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R}\) — добротность контура. Эта зависимость является лоренцевой (или лоренцианом) и симметрична относительно \(\omega_0\). Ширина полосы пропускания на уровне \(1/\sqrt{2}\) от максимума равна \(\Delta \omega = \omega_0 / Q\).
 +
 +Лоренцева форма характерна для многих резонансных систем и описывает распределение энергии вблизи резонансной частоты. В случае последовательного контура именно ток (или напряжение на резисторе) имеет такую форму. Напряжения на реактивных элементах имеют более сложный вид, но вблизи резонанса также приближённо лоренцевы.
 +
 +### Основные свойства последовательного контура
 +
 +- Резонансная частота \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
 +- Характеристическое сопротивление \(\rho = \sqrt{L/C}\).
 +- Добротность \(Q = \rho / R = \omega_0 L / R\).
 +- Полоса пропускания по уровню 0,707 от максимума: \(\Delta f = f_0 / Q\).
 +
 +Лоренцевский контур широко используется в радиотехнике для выделения сигналов, в спектроскопии, а также как модель для описания резонансных явлений в физике.
 +
 +Таким образом, знакомство с лоренцевским контуром подразумевает понимание резонансных кривых, добротности и связи с лоренцевой формой линии.
 +
 +====== Задача 4 ======
 +
 +**Условие:** К последовательному колебательному контуру подключили нагрузку как показано на рисунке. Найти резонансную частоту в этом случае, оценить ее абсолютный и относительный сдвиг.  
 +На схеме обозначены: \(r\) (сопротивление потерь катушки или внутреннее сопротивление источника), \(L\) (индуктивность), \(E\) (источник ЭДС), \(C\) (ёмкость), \(R_1\) (нагрузка). Предполагается, что нагрузка \(R_1\) подключена параллельно конденсатору \(C\) (типичное включение).
 +
 +{{ ::fit03-03.png?200 |}}
 +
 +**Решение:**
 +
 +Рассмотрим последовательный контур, состоящий из сопротивления \(r\), индуктивности \(L\) и параллельно соединённых конденсатора \(C\) и нагрузки \(R_1\). Источник ЭДС \(E\) создаёт переменное напряжение частоты \(\omega\). Требуется найти частоту, при которой ток в цепи максимален (резонанс напряжений), что соответствует равенству нулю мнимой части входного сопротивления цепи.
 +
 +Входное комплексное сопротивление:
 +\[
 +Z = r + j\omega L + \left( \frac{1}{j\omega C} \parallel R_1 \right).
 +\]
 +Параллельное соединение \(C\) и \(R_1\) даёт:
 +\[
 +Z_{RC} = \frac{R_1 \cdot \frac{1}{j\omega C}}{R_1 + \frac{1}{j\omega C}} = \frac{R_1}{1 + j\omega R_1 C} = \frac{R_1(1 - j\omega R_1 C)}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2}.
 +\]
 +Тогда полное сопротивление:
 +\[
 +Z = r + j\omega L + \frac{R_1}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2} - j\frac{\omega R_1^2 C}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2}.
 +\]
 +Мнимая часть:
 +\[
 +\operatorname{Im}(Z) = \omega L - \frac{\omega R_1^2 C}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2}.
 +\]
 +Условие резонанса: \(\operatorname{Im}(Z) = 0\), откуда
 +\[
 +\omega L = \frac{\omega R_1^2 C}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{R_1^2 C}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2}.
 +\]
 +Решаем относительно \(\omega^2\):
 +\[
 +1 + \omega^2 R_1^2 C^2 = \frac{R_1^2 C}{L} \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{ \frac{R_1^2 C}{L} - 1 }{R_1^2 C^2} = \frac{1}{LC} - \frac{1}{R_1^2 C^2}.
 +\]
 +Обозначим резонансную частоту исходного контура (без нагрузки) \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\). Тогда
 +\[
 +\omega = \sqrt{ \omega_0^2 - \frac{1}{R_1^2 C^2} }.
 +\]
 +Резонанс существует только при \(\omega_0^2 > \frac{1}{R_1^2 C^2}\), то есть \(R_1 > \sqrt{\frac{L}{C}}\) (характеристическое сопротивление контура).
 +
 +**Оценка сдвига частоты**
 +
 +Если нагрузка велика (\(R_1 \gg \sqrt{L/C}\)), то \(\frac{1}{R_1^2 C^2} \ll \omega_0^2\). Разложим корень:
 +\[
 +\omega = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{\omega_0^2 R_1^2 C^2}} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{L}{R_1^2 C}} \approx \omega_0 \left(1 - \frac{L}{2R_1^2 C}\right).
 +\]
 +Абсолютный сдвиг:
 +\[
 +\Delta \omega = \omega - \omega_0 \approx -\frac{\omega_0 L}{2R_1^2 C}.
 +\]
 +Относительный сдвиг:
 +\[
 +\frac{\Delta \omega}{\omega_0} \approx -\frac{L}{2R_1^2 C}.
 +\]
 +Знак минус означает, что резонансная частота уменьшается.
 +
 +**Ответ:**
 +Резонансная частота после подключения нагрузки:
 +\[
 +\boxed{\omega = \sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{1}{R_1^2 C^2} } }.
 +\]
 +Приближённые значения сдвига (для \(R_1 \gg \sqrt{L/C}\)):
 +\[
 +\Delta \omega \approx -\frac{1}{2R_1^2 C} \sqrt{\frac{L}{C}}, \quad \frac{\Delta \omega}{\omega_0} \approx -\frac{L}{2R_1^2 C}.
 +\]
 +
 +====== Задача 5 ======
 +
 +**Вопрос:** Какое напряжение в розетке?
 +
 +**Ответ:**
 +
 +В бытовой электрической сети России и многих стран СНГ стандартное напряжение в розетке составляет **220 вольт** переменного тока частотой **50 герц**. Это действующее (среднеквадратичное) значение. Амплитудное напряжение при этом равно \(220 \times \sqrt{2} \approx 311\) В.
 +
 +В других странах могут быть иные стандарты, например, в США и Японии — 100–127 В при частоте 60 Гц, в некоторых европейских странах — 230 В. Однако для типичной задачи подразумевается именно российский стандарт.