Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.34 [2023/03/09 18:48] – root
+++ optics:res2.34 [2023/03/10 06:57] (текущий) – root
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Компонента поля $E_{z}(x,y)$ подчиняется двумерному волновому уравнению
-$\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}E_{z}$
+$$\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}E_{z}$$
 и граничному условию $E_{z}|_{\Gamma}=0.$
@@ Строка 14: / Строка 13: @@
 уравнение, получим
-$Y\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+X\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}XY$
+$$Y\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+X\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}XY$$
 разделим обе части уравнения на произведение $XY,$ получим
-$\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}$
+$$\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}$$
 Первое слагаемое зависит только от $x$ второе --- только от $y$
@@ Строка 24: / Строка 23: @@
 тогда, когда каждая из них равна константе.
-Положим $\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}=-k_{x}^{2};\,\,\,\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{y}^{2}$
+Положим $$\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}=-k_{x}^{2};\,\,\,\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{y}^{2}$$
 Тогда
-$X(x)=A\sin k_{x}x+B\cos k_{x}x,Y(y)=C\sin k_{y}y+D\cos k_{y}y.$
+$$X(x)=A\sin k_{x}x+B\cos k_{x}x,Y(y)=C\sin k_{y}y+D\cos k_{y}y.$$
 Учитывая граничные условия $E_{z}(x=0,y)=0,$ что эквивалентно условию
@@ Строка 41: / Строка 40: @@
 Общее решение тогда запишется в виде
-$E_{z}\left(x,y\right)=\sum_{n_{x},n_{y}}A_{n_{x},n_{y}}\sin\frac{n_{x}\pi}{a}x\sin\frac{n_{y}\pi}{b}y$
+$$E_{z}\left(x,y\right)=\sum_{n_{x},n_{y}}A_{n_{x},n_{y}}\sin\frac{n_{x}\pi}{a}x\sin\frac{n_{y}\pi}{b}y$$
 при условии
-$\left(\frac{n_{x}\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y}\pi}{b}\right)^{2}+k_{z}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu$.
+$$\left(\frac{n_{x}\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y}\pi}{b}\right)^{2}+k_{z}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu .$$
 Тогда критическая частота будет когда $k_{z}=0,$ а $n_{x}$ и $n_{y}$
-будут минимальными, т.е. $\omega_{min}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{b}\right)^{2}}$
+будут минимальными, т.е. $$\omega_{min}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{b}\right)^{2}}.$$
 Для $H$--волны, из-за граничных условий $\frac{\partial H_{z}}{\partial n}=0$
 произойдёт замена $\sin\to\cos$ так, что
-$H_{z}\left(x,y\right)=\sum_{n_{x},n_{y}}A_{n_{x},n_{y}}\cos\frac{n_{x}\pi}{a}x\cos\frac{n_{y}\pi}{b}y$
+$$H_{z}\left(x,y\right)=\sum_{n_{x},n_{y}}A_{n_{x},n_{y}}\cos\frac{n_{x}\pi}{a}x\cos\frac{n_{y}\pi}{b}y$$
 при том-же условии
-$\left(\frac{n_{x}\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y}\pi}{b}\right)^{2}+k_{z}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu$,
+$$\left(\frac{n_{x}\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y}\pi}{b}\right)^{2}+k_{z}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu,$$
 следовательно, минимальное значение частоты если один из $n_{x}$
-или $n_{y}$ занулится: $\omega_{min}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\frac{\pi}{\max(a,b)}$.
+или $n_{y}$ занулится: $$\omega_{min}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\frac{\pi}{\max(a,b)}.$$