Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res2.5 [2020/02/10 08:41] – создано root
+++ optics:res2.5 [2020/02/10 18:41] (текущий) – [б)] root
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 -----
+===== а) =====
+Кулоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:
+$$\Delta\varphi=-4\pi q\delta(\mathbf{r}).$$
+Как и в [[res2.4|предыдущей задаче]] запишем потенциал в виде:
+$$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$$
+а трёхмерную дельта--функцию в виде
+$$
+\delta(\mathbf{r})=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}
+.$$
+Подействовав лапласианом на функцию $\varphi$ получим с одной стороны:
+$$
+\Delta\varphi=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\Delta e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},
+$$
+а с другой
+$$
+-4\pi q\delta(\mathbf{r})=-4\pi q\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-q\frac{1}{2\pi^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}.
+$$
+Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций:
+$$
+\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}=q\frac{1}{2\pi^{2}},
+$$
+так, что
+$$
+\varphi_{\mathbf{k}}=\frac{q}{2\pi^{2}\mathbf{k}^{2}}.
+$$
+===== б) =====
+Аналогично рассмотрим и для тока:
+$$\mathbf{J}=j\delta(x)\delta(y),$$
+удовлетворяющему уравнению для векторного потенциала:
+$$\Delta\mathbf{A}=-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J},$$
+тогда с одной стороны:
+$$\Delta\mathbf{A}=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},\mathbf{A}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$$
+с другой стороны
+$$-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J}=-\frac{4\pi}{c}j\delta(x)\delta(y)=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dk_xdk_y=$$
+$$-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dk_xdk_y\,\delta(k_{z})e^{ik_{z}z}dk_z .$$
+Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций:
+$$-\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\delta(k_{z})=-\frac{1}{c}j\frac{1}{\pi}\delta(k_{z})$$
+так, что
+$$\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=\frac{j\delta(k_{z})}{\pi c\mathbf{k}^{2}}.$$