4.22. Найти магнитный момент однородно заряженного шара (сферы), вращающегося вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью $\omega$. Заряд шара — $e$, радиус — $a$.
а)
Найдем магнитный момент сферы. Возьмем на поверхности
сферы узкий поясок, заключенный между углами $\,\theta$ и
$\,\theta+\,d\theta$.
Заряд, вращаясь вместе
со сферой, создает ток, величина
которого на выделенном пояске
$$dJ= \frac{dq}{dt} =\frac{\sigma dS}{dt} =\frac{\sigma (a^2\sin \theta d\theta d\alpha )}{dt}
=
\frac{1}{4\pi}Q\omega \sin\theta\,d\theta\,,$$
где $\omega =\frac{d\alpha}{dt}$ —
угловая скорость вращения, $\,\sigma=Q/4\pi a^2$ — поверхностная
плотность заряда. Магнитный момент этого тока
$$d\vec{m}=\frac{dJ\,\vec{s}}{c}=
\frac{\pi a^2Q\vec{\omega}}{4\pi c}\sin^3\theta\,d\theta\,.$$
Интегрируя по $\,\theta$, находим магнитный момент всей сферы:
$$\vec{m}=\int d\vec{m}=
\frac{Qa^2\vec{\omega}}{4c}
\int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=
\frac{Qa^2\vec{\omega}}{3c}\,.$$
б)
Найдем магнитный момент равномерно заряженного вращающегося вокруг одного из своих диаметров шара. Используя результат предыдущей задачи, магнитный момент тонкого шарового слоя радиуса $\,R$ толщины $\,dR$ выразится так: $$d\vec{m}=\frac{\vec{\omega}R^2}{3c}\,dQ\,,$$ где $\,dQ$ – заряд шарового слоя. Так как $$dQ=\frac{Q}{4\pi a^3/3}\cdot 4\pi R^2\,dR= \frac{3QR^2\,dR}{a^3}\,,$$ то магнитный момент шара будет равен
$$\vec{m}=\frac{Q\vec{\omega}}{ca^3} \int\limits_0^a R^4\,dR=\frac{Qa^2}{5c}\vec{\omega}\,.$$