Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 4. Постоянный ток

Сила тока в проводнике равномерно нарастает от $I_0=0$ до $I=2$ А в течение времени $\tau=5$ с. Определите заряд, прошедший по проводнику.

$I(t)=kt$, $k=I/\tau$. $Q=\displaystyle\int_0^\tau kt\,dt=\frac{k\tau^2}2=\frac{I\tau}2$.

$Q=I\tau/2=5$ Кл.

Определите плотность тока, если за $t=2$ с через проводник сечением $S=6$ мм² прошло $N=2\cdot10^{19}$ электронов.

$Q=Ne$, $I=Q/t$, $j=I/S=Ne/(St)$. Подставляя $N=2\cdot10^{19}$, $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл, $S=6\cdot10^{-6}$ м², $t=2$ с: $$j=\frac{2\cdot10^{19}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}{6\cdot10^{-6}\cdot2}=\frac{3{,}2}{1{,}2\cdot10^{-5}}\approx2{,}67\cdot10^5\ \text{А/м}^2.$$

$j\approx2{,}67\cdot10^5$ А/м² $\approx0{,}267$ А/мм².

Определите общее сопротивление между точками $A$ и $B$ цепи (см. рисунок), если $R_1=1$ Ом, $R_2=3$ Ом, $R_3=R_4=R_6=2$ Ом, $R_5=4$ Ом.

Схема сворачивается последовательно-параллельными преобразованиями: $R_3$ и $R_6$ — параллельно, результат — последовательно с $R_2$, затем — параллельно с $R_5$, результат — последовательно с $R_1$, и, наконец, — параллельно с $R_4$: $$R_{36}=\frac{R_3R_6}{R_3+R_6}=1\text{ Ом},\quad R_{236}=R_2+R_{36}=4\text{ Ом},$$ $$R_{2365}=\frac{R_{236}R_5}{R_{236}+R_5}=2\text{ Ом},\quad R_{12365}=R_1+R_{2365}=3\text{ Ом},$$ $$R_{AB}=\frac{R_{12365}R_4}{R_{12365}+R_4}=\frac{3\cdot2}{5}=1{,}2\text{ Ом}.$$

$R_{AB}=1{,}2$ Ом.

Вольтметр, включённый в сеть последовательно с сопротивлением $R_1$, показал напряжение $U_1=198$ В, а при включении последовательно с $R_2=2R_1$ показал $U_2=180$ В. Определите $R_1$ и напряжение в сети, если сопротивление вольтметра $r=900$ Ом.

Напряжение сети $U=\text{const}$, ток в каждом случае $I_i=U/(R_i+r)$, показание вольтметра $U_i=I_ir=\dfrac{Ur}{R_i+r}$. Из равенства $U_1(R_1+r)=U_2(2R_1+r)$: $$R_1=\frac{(U_1-U_2)r}{2U_2-U_1},\qquad U=U_1\left(\frac{R_1}r+1\right).$$ Подставляя числа: $R_1=\dfrac{18\cdot900}{162}=100$ Ом, $U=198\cdot(100/900+1)=198\cdot\dfrac{10}9=220$ В.

$R_1=100$ Ом, $U=220$ В.

В цепи амперметр показывает $I=1{,}5$ А. Ток через $R_1$ равен $I_1=0{,}5$ А. $R_2=2$ Ом, $R_3=6$ Ом ($R_2,R_3$ включены параллельно друг другу, и эта пара — параллельно $R_1$). Определите $R_1$, а также токи $I_2$, $I_3$.

$I=I_1+I_2+I_3=I_1+(I_2+I_3)$, где $I_2+I_3=I-I_1=1$ А. Напряжение на всех трёх ветвях одинаково: $I_1R_1=(I_2+I_3)\dfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}$. Отсюда $$R_1=\frac{(I-I_1)R_2R_3}{I_1(R_2+R_3)}=\frac{1\cdot2\cdot6}{0{,}5\cdot8}=3\text{ Ом}.$$ Напряжение на параллельной паре: $U=I_1R_1=1{,}5$ В, откуда $I_2=U/R_2=0{,}75$ А, $I_3=U/R_3=0{,}25$ А.

$R_1=3$ Ом, $I_2=0{,}75$ А, $I_3=0{,}25$ А.

Электрическая плитка мощностью $P=1$ кВт с нихромовой спиралью включается в сеть $U=220$ В. Сколько метров проволоки диаметром $d=0{,}5$ мм надо взять, если температура нити $t=900\,^\circ$С? Удельное сопротивление нихрома при $0^\circ$С $\rho_0=1$ мкОм·м, температурный коэффициент $\alpha=0{,}4\cdot10^{-3}$ К$^{-1}$.

$R=U^2/P$, $R=\rho\dfrac{\ell}{S}=\rho_0(1+\alpha t)\dfrac{\ell}{S}$, $S=\pi d^2/4$. Отсюда $$\ell=\frac{U^2S}{P\rho_0(1+\alpha t)}=\frac{U^2\pi d^2}{4P\rho_0(1+\alpha t)}.$$ Подставляя $U=220$ В, $P=1000$ Вт, $d=0{,}5\cdot10^{-3}$ м, $\rho_0=10^{-6}$ Ом·м, $\alpha t=0{,}36$: $R=220^2/1000=48{,}4$ Ом, $\rho=1{,}36\cdot10^{-6}$ Ом·м, $S=1{,}9635\cdot10^{-7}$ м², $\ell=RS/\rho\approx6{,}99$ м.

$\ell\approx6{,}99$ м.

Сила тока в проводнике сопротивлением $R=100$ Ом равномерно убывает от $I_0=10$ А до $0$ за время $\tau=30$ с. Определите выделившееся за это время количество теплоты.

$I(t)=I_0-kt$, $k=I_0/\tau$. $Q=\displaystyle\int_0^\tau I(t)^2R\,dt=\int_0^\tau(I_0-kt)^2R\,dt=\frac13I_0^2R\tau$ (стандартный интеграл, аналогично задаче 1). $$Q=\frac13\cdot10^2\cdot100\cdot30=\frac13\cdot300000=100\,000\text{ Дж}.$$

$Q=100$ кДж.

На рисунке $R_1=R_2=50$ Ом, $R_3=100$ Ом, $C=50$ нФ. Определите ЭДС источника, пренебрегая его внутренним сопротивлением, если заряд на конденсаторе $Q=2{,}2$ мкКл.

В стационарном режиме ток через конденсатор не течёт, весь ток идёт через $R_1,R_2$ (последовательно) и далее через $R_3$. Напряжение на конденсаторе равно напряжению на $R_2$ (по схеме): $U_C=Q/C$, $I=U_C/R_2$. Полная ЭДС: $\mathcal E=U_C+IR_3=U_C\left(1+\dfrac{R_3}{R_2}\right)$. $$U_C=\frac{2{,}2\cdot10^{-6}}{50\cdot10^{-9}}=44\text{ В},\qquad \mathcal E=44\left(1+\frac{100}{50}\right)=44\cdot3=132\text{ В}.$$

$\mathcal E=132$ В.

На рисунке $R_1=R$, $R_2=2R$, $R_3=3R$, $R_4=4R$ (мостовая схема: $R_1$ и $R_2{+}R_3$ — две ветви от одного вывода источника к другому, $R_4$ соединяет узел между $R_1$ и $R_2$ с этим вторым выводом, а конденсатор $C$ включён в диагональ моста — между первым выводом источника и точкой между $R_2$ и $R_3$, в обход $R_1$). Напряжение источника $U_0$. Определите заряд на конденсаторе.

Ток в стационарном режиме не течёт через конденсатор. $R_{23}=R_2+R_3=5R$ (последовательно), эта ветвь — параллельно $R_4$: $R_{234}=\dfrac{R_{23}R_4}{R_{23}+R_4}=\dfrac{20R}9$. Полное сопротивление $R_0=R_1+R_{234}=\dfrac{29R}9$, ток от источника $I_0=U_0/R_0=\dfrac{9U_0}{29R}$.

Ток в ветви $R_2$–$R_3$: из условия равенства напряжений на параллельных ветвях $I_2R_{23}=I_4R_4$ и $I_2+I_4=I_0$ находим $I_2=\dfrac4{29}\dfrac{U_0}R$. Напряжение на конденсаторе (между выводом источника перед $R_1$ и точкой между $R_2,R_3$, то есть в обход $R_1$ и $R_2$): $U_C=I_0R_1+I_2R_2=\dfrac{9}{29}U_0+\dfrac8{29}U_0=\dfrac{17}{29}U_0$.

$Q=CU_C=\dfrac{17}{29}CU_0$.

На рисунке $\mathcal E=2$ В, $R_1=60$ Ом, $R_2=40$ Ом, $R_3=R_4=20$ Ом, $R_G=100$ Ом (мостовая схема, гальванометр $R_G$ в диагонали). Определите силу тока $I_G$ через гальванометр.

Проверим баланс моста: $R_1R_4=60\cdot20=1200$, $R_2R_3=40\cdot20=800$ — мост НЕ сбалансирован, ток через $R_G$ есть. Составляем уравнения Кирхгофа для узлов и контуров (обозначения токов как в схеме) и решаем систему; после исключения переменных получается линейное уравнение относительно $I_G$: $$134\,I_G=-0{,}2\ \Longrightarrow\ I_G\approx-1{,}49\cdot10^{-3}\text{ А}.$$

$|I_G|\approx1{,}49$ мА, направление — противоположное первоначально выбранному.