Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 5. Магнитное поле в вакууме (закон Био–Савара)

Найти напряжённость магнитного поля на расстоянии $R$ от бесконечного провода, по которому течёт ток $J$.

По закону Био–Савара–Лапласа элемент $Jd\vec l$ создаёт поле $dB=\dfrac{\mu_0J}{4\pi r}\,d\alpha$, где $\alpha$ — угол, под которым виден элемент из точки наблюдения, $R=r\cos\alpha$. Интегрируя $\alpha$ от $-\pi/2$ до $\pi/2$ (весь бесконечный провод): $$B=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mu_0\frac{J\cos\alpha}{4\pi R}\,d\alpha=\frac{\mu_0J}{2\pi R}.$$

$B=\dfrac{\mu_0J}{2\pi R}$.

Вычислить напряжённость магнитного поля кругового тока на его оси. Радиус витка $a$, расстояние от точки наблюдения до плоскости витка (вдоль оси) — обозначим $z$, а до самого провода — $r=\sqrt{a^2+z^2}$.

Осевая составляющая от элемента $dl$: $dB_z=\dfrac{\mu_0J}{4\pi r^2}\sin\alpha\,dl$, где $\sin\alpha=a/r$ одинаков для всех точек витка. Интегрирование по контуру даёт множитель $2\pi a$: $$B_z=\frac{\mu_0Ja}{2r^2}\cdot\frac ar=\frac{\mu_0a^2J}{2r^3}=\frac{\mu_0a^2J}{2(a^2+z^2)^{3/2}}.$$

$B=\dfrac{\mu_0a^2J}{2(a^2+z^2)^{3/2}}$; в центре ($z=0$): $B=\mu_0J/(2a)$.

Найти магнитную индукцию $B$ поля, создаваемого проводом длины $\ell$, в точке, из которой его края видны под углами $\varphi_1$ и $\varphi_2$; ток $J$, расстояние от провода до точки $r_0$.

Из закона Био–Савара $dB=\dfrac{\mu_0J\sin\alpha}{4\pi r^2}dl$; выражая $dl=\dfrac{r_0\,d\alpha}{\sin^2\alpha}\cdot\sin\alpha=\dfrac{r_0\,d\alpha}{\sin\alpha}$ и $r=r_0/\sin\alpha$, получаем $dB=\dfrac{\mu_0J}{4\pi r_0}\sin\alpha\,d\alpha$. Интегрируя от $\alpha_1$ до $\alpha_2$: $$B=\frac{\mu_0J}{4\pi r_0}(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2).$$ При симметричном расположении ($\cos\alpha_2=-\cos\alpha_1$): $B=\dfrac{\mu_0J}{2\pi r_0}\cos\alpha_1$.

$B=\dfrac{\mu_0J}{4\pi r_0}(\cos\varphi_1-\cos\varphi_2)$.

Найти напряжённость магнитного поля в точке на оси соленоида радиуса $a$ с линейной плотностью витков $n$, из которой его края видны под углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Ток через обмотку $J$.

Каждый элемент соленоида толщиной $dz$ ($ndz$ витков) создаёт на оси поле по формуле задачи 2. Переходя от интегрирования по $z$ к интегрированию по углу $\alpha$ ($z=a\operatorname{ctg}\alpha$): $$B_z=\frac{\mu_0nJ}2\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\sin\alpha\,d\alpha\cdot(-1)=\frac{\mu_0nJ}2(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1).$$ Частные случаи: на конце полубесконечного соленоида ($\alpha_1=\pi/2,\alpha_2=0$) — $B=\mu_0nJ/2$; внутри бесконечного соленоида ($\alpha_1=\pi,\alpha_2=0$) — $B=\mu_0nJ$.

$B=\dfrac{\mu_0nJ}2(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1)$.

Схема симметричного разветвления токов: все проводники прямолинейны, бесконечны, лежат в одной плоскости. Определить напряжённость магнитного поля на линии, перпендикулярной плоскости токов и проходящей через точку $A$, если ток в каждой ветви равен $J$ (в подводящем проводе — $2J$).

Поле определяется суммой вкладов от полубесконечных проводов, сходящихся симметрично в точке разветвления; итоговая формула (аналогично задаче 3 для полупрямых под углом) даёт зависимость от угла разветвления $\alpha$.

$B=\dfrac{\mu_0J}{2\pi r}(1+\cos\alpha)$, где $r$ — расстояние от точки $A$ до линии токов; направление перпендикулярно плоскости токов.

Длинный провод с током $J=50$ А изогнут под углом $\alpha=2\pi/3$. Определить напряжённость магнитного поля в точке $A$ на расстоянии $d=5$ см от вершины излома (перпендикулярно одному из прямых участков).

Точка $A$ лежит на продолжении одного из отрезков (на его оси), поэтому вклад этого отрезка равен нулю ($[d\vec l\times\vec r]=0$ на оси провода). Вклад даёт только второй (изогнутый) отрезок — как полубесконечный провод, видимый из $A$ под расстоянием $r_0=d\sin(\pi-\alpha/2)$… по формуле задачи 3 с $\alpha_1\to0$ (провод длинный) и $\alpha_2=\alpha$: $$r_0=d\sin(\pi/3)=\frac{d\sqrt3}2,\qquad \cos\alpha_2=\cos(2\pi/3)=-\tfrac12,$$ $$B=\frac{\mu_0J}{4\pi r_0}\bigl(1-(-\tfrac12)\bigr)=\frac{\sqrt3\,\mu_0J}{4\pi d}.$$

$B=\dfrac{\sqrt3\,\mu_0J}{4\pi d}$, направлено перпендикулярно плоскости чертежа (правило правого винта).

Найти магнитное поле тороидальной катушки. Радиус катушки $R$ (радиус осевой линии тора), ток через обмотку $J$, число витков обмотки $N$.

По теореме о циркуляции для окружности радиуса $R$ внутри тора (концентричной оси тора), охватывающей полный ток $NJ$: $$2\pi RB=\mu_0NJ\ \Longrightarrow\ B=\frac{\mu_0NJ}{2\pi R}.$$ Вне тора поле равно нулю.

$B=\dfrac{\mu_0NJ}{2\pi R}$ внутри тора, $B=0$ вне тора.

Электрон со скоростью $v$ влетел в однородное магнитное поле $B$ под углом $\alpha=30^\circ$ к направлению поля. Определить радиус $R$ и шаг $h$ винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Скорость раскладывается на $v_\parallel=v\cos\alpha$ (вдоль поля, равномерное движение) и $v_\perp=v\sin\alpha$ (по окружности, сила Лоренца $F=|e|v_\perp B$ — центростремительная). Из $|e|v_\perp B=mv_\perp^2/R$: $$R=\frac{mv_\perp}{|e|B}=\frac{mv\sin\alpha}{|e|B}.$$ Период обращения $T=2\pi m/(|e|B)$ не зависит от скорости; шаг винта — путь вдоль поля за один период: $$h=v_\parallel T=\frac{2\pi mv\cos\alpha}{|e|B}.$$

$R=\dfrac{mv\sin\alpha}{|e|B}$, $h=\dfrac{2\pi mv\cos\alpha}{|e|B}$.

По двум параллельным прямым проводам длиной $\ell=2{,}5$ м каждый, находящимся на расстоянии $d=20$ см друг от друга, текут одинаковые токи $J=1$ кА. Вычислить силу $F$ взаимодействия токов.

Поле одного провода в месте другого: $B_1=\dfrac{\mu_0J}{2\pi d}$. Сила Ампера на элемент второго провода: $dF=JB_1\,dl$ (поле перпендикулярно проводу), интегрируя по длине $\ell$: $$F=\frac{\mu_0J^2\ell}{2\pi d}.$$ Подставляя числа: $F=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^6\cdot2{,}5}{2\pi\cdot0{,}2}=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot10^6\cdot2{,}5}{0{,}2}=2{,}5$ Н.

$F=\dfrac{\mu_0J^2\ell}{2\pi d}=2{,}5$ Н (притяжение, так как токи сонаправлены).

Плоский квадратный контур со стороной $a$, по которому течёт ток $J$, свободно установился в однородном магнитном поле $B$. Определить работу $A$ внешних сил при повороте контура (относительно оси через середины противоположных сторон) на угол: 1) $\varphi_1=90^\circ$; 2) $\varphi_2=3^\circ$. Ток в контуре поддерживается неизменным.

В положении равновесия магнитный момент $\vec p_m$ ($p_m=Ja^2$) сонаправлен с $\vec B$. При повороте на угол $\varphi$ момент сил $M=p_mB\sin\varphi$ стремится вернуть контур обратно; работа внешних сил против него: $dA=M\,d\varphi=Ja^2B\sin\varphi\,d\varphi$.

1) $A=Ja^2B\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=Ja^2B$.

2) Для малого угла $\sin\varphi\approx\varphi$: $A=Ja^2B\displaystyle\int_0^{\varphi}\varphi\,d\varphi=\dfrac{Ja^2B}2\varphi^2$ (угол в радианах, $\varphi_2=3^\circ\approx0{,}0524$ рад).

1) $A=Ja^2B$; 2) $A=\dfrac{Ja^2B}2\varphi_2^2\approx1{,}37\cdot10^{-3}\,Ja^2B$.