Найти потенциал на краю диска.

Потенциал $$d\varphi =\frac{dq}{r}=\frac{\sigma dS}{r}=\frac{\sigma 2\theta r dr}{r}$$ из свойств описанного прямоугольного треугольника $r=2R\cos\theta$, тогда $dr=-2R\sin\theta d\theta$ и приходим к интегралу: $$ \varphi =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sigma 2\theta dr=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}4R\sigma \theta \sin\theta d\theta $$ Интегрируем по частям $$ -\int\theta \sin\theta d\theta=\theta\cos \theta - \int \cos \theta d \theta= \theta\cos \theta -\sin \theta $$ в итоге получаем, что $$ \varphi =4R\sigma. $$