Пусть плоская монохроматическая волна с длиной волны в вакууме \(\lambda_0\) падает нормально на плоскопараллельную пластинку, имеющую уступ толщиной \(d\) на половине своей поверхности. Пластинка изготовлена из прозрачного материала с показателем преломления \(n\). Остальная часть пластинки (без уступа) имеет постоянную толщину, которую примем за нулевой уровень отсчёта фазы.

Комплексная амплитуда падающей волны (в плоскости входа в пластинку) равна \(E_0\). После прохождения пластинки волна приобретает фазовый набег, зависящий от пройденного оптического пути. Для области без уступа оптическая длина пути равна \(n \cdot (\text{толщина})\), но поскольку нас интересует только разность фаз, введём фазу \(\phi_0\) для этой области. Для области с уступом дополнительная толщина \(d\) добавляет оптический путь \(n d\) вместо вакуумного пути \(d\) (если бы уступа не было). Однако обычно сравнивают с пластинкой без уступа, где вся волна проходит одинаковую толщину. В нашем случае одна половина пластинки имеет дополнительную толщину \(d\), поэтому разность оптических путей между двумя половинами составляет \((n-1)d\). Соответствующая разность фаз: \[ \varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0} (n-1)d. \]

На выходе из пластинки комплексные амплитуды поля на двух половинах (обозначим их как области 1 и 2) можно записать (опуская общий фазовый множитель, одинаковый для обеих половин) в виде: \[ E_1 = A e^{i\omega t}, \quad E_2 = A e^{i(\omega t + \varphi)}, \] где \(A\) — амплитуда, пропорциональная падающей волне и коэффициенту пропускания пластинки (предполагаем, что потери отсутствуют, а площадь каждой половины одинакова).

### Интерференция в фокусе линзы

Линза, расположенная после пластинки, собирает все параллельные лучи в своей фокальной плоскости. Поскольку волна плоская и падает нормально, после прохождения пластинки волновой фронт остаётся плоским (разность фаз постоянна по каждой половине), но с разрывом фазы на границе уступа. Линза преобразует плоские волны в сферические, сходящиеся в фокус. В результате в фокусе происходит сложение полей от всех точек выходной поверхности пластинки. Так как линза не вносит дополнительной разности фаз между лучами, пришедшими от разных точек (все они проходят одинаковое оптическое расстояние до фокуса), то поле в фокусе равно сумме комплексных амплитуд от каждой половины, умноженных на соответствующие площади (или, точнее, на интеграл по площади). Поскольку площади обеих половин равны (пусть каждая равна \(S/2\), где \(S\) — полная площадь пластинки), то суммарное поле в фокусе: \[ E_{\text{фок}} = \frac{S}{2} \left( E_1 + E_2 \right) = \frac{S}{2} A \left( 1 + e^{i\varphi} \right) e^{i\omega t}. \]

Для однородной пластинки (без уступа) поле в фокусе было бы: \[ E_{\text{одн}} = S A e^{i\omega t}, \] а интенсивность \(I_0\) пропорциональна квадрату модуля: \[ I_0 = |E_{\text{одн}}|^2 = S^2 |A|^2. \]

### Интенсивность результирующей волны

Интенсивность в фокусе при наличии уступа: \[ I = |E_{\text{фок}}|^2 = \left( \frac{S}{2} \right)^2 |A|^2 \left| 1 + e^{i\varphi} \right|^2. \] Вычислим модуль: \[ \left| 1 + e^{i\varphi} \right|^2 = (1 + e^{i\varphi})(1 + e^{-i\varphi}) = 2 + e^{i\varphi} + e^{-i\varphi} = 2(1 + \cos\varphi) = 4 \cos^2\frac{\varphi}{2}. \] Таким образом, \[ I = \frac{S^2}{4} |A|^2 \cdot 4 \cos^2\frac{\varphi}{2} = S^2 |A|^2 \cos^2\frac{\varphi}{2} = I_0 \cos^2\frac{\varphi}{2}. \] Подставляя \(\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}(n-1)d\), окончательно получаем: \[ I = I_0 \cos^2\left( \frac{\pi (n-1)d}{\lambda_0} \right). \]

### Условие получения \(I = I_0/2\)

Приравниваем: \[ \cos^2\left( \frac{\pi (n-1)d}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{2}. \] Отсюда \[ \cos\left( \frac{\pi (n-1)d}{\lambda_0} \right) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. \] Наименьшее положительное значение аргумента, при котором косинус равен \(1/\sqrt{2}\), — это \(\pi/4\). Следовательно, \[ \frac{\pi (n-1)d}{\lambda_0} = \frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{\lambda_0}{4(n-1)}. \] При этом интенсивность падает вдвое по сравнению с однородной пластинкой.

Ответ: \[ \boxed{I = I_0 \cos^2\left( \dfrac{\pi (n-1)d}{\lambda_0} \right), \quad d = \dfrac{\lambda_0}{4(n-1)}} \]