Условие задачи: Из двух одинаковых частиц с массой покоя \( m \) одна испытывает упругое соударение с неподвижной второй. Найти зависимость кинетической энергии рассеянных частиц \( T_i \) от кинетической энергии \( T_0 \) налетающей частицы и её угла рассеяния \( \theta \). Определить угол \( \psi \) разлета частиц. Рассмотреть случай \( T_0 \ll m c^2 \).

В упругом соударении сохраняются полная энергия и импульс. Используем систему центра масс (ЦМ), где полный импульс равен нулю.

Инвариантная масса системы: \[ s = 4m^2 + 2m T_0 \] Энергия в системе ЦМ: \[ E_{\text{ЦМ}} = \sqrt{s} = \sqrt{4m^2 + 2m T_0} \] Импульс каждой частицы в ЦМ: \[ p^* = \sqrt{\frac{m T_0}{2}} \] Энергия каждой частицы в ЦМ: \[ E^* = \frac{E_{\text{ЦМ}}}{2} = \sqrt{m^2 + \frac{m T_0}{2}} \]

Скорость системы ЦМ относительно лабораторной системы: \[ V = \frac{p_0}{E_0 + m} = \frac{\sqrt{T_0^2 + 2m T_0}}{2m + T_0} \] Фактор Лоренца: \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - V^2}} = \sqrt{1 + \frac{T_0}{2m}} \]

Энергия первой частицы после соударения в лабораторной системе: \[ E_1 = \gamma (E^* + V p^* \cos \theta^*) = m + \frac{T_0}{2} + \frac{T_0}{2} \cos \theta^* \] Кинетическая энергия первой частицы: \[ T_1 = E_1 - m = \frac{T_0}{2} (1 + \cos \theta^*) \tag{1} \]

Связь между углом рассеяния в ЦМ \( \theta^* \) и в лабораторной системе \( \theta \): \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta^*}{\gamma (1 + \cos \theta^*)} = \frac{1}{\gamma} \tan \frac{\theta^*}{2} \] Отсюда: \[ \tan \frac{\theta^*}{2} = \gamma \tan \theta \tag{2} \]

Выразим \( \cos \theta^* \) через \( \theta \): \[ \cos \theta^* = \frac{1 - \gamma^2 \tan^2 \theta}{1 + \gamma^2 \tan^2 \theta} \tag{3} \]

Подставляем (3) в (1): \[ T_1 = \frac{T_0}{2} \left(1 + \frac{1 - \gamma^2 \tan^2 \theta}{1 + \gamma^2 \tan^2 \theta}\right) = \frac{T_0}{2} \cdot \frac{2}{1 + \gamma^2 \tan^2 \theta} = \frac{T_0}{1 + \gamma^2 \tan^2 \theta} \] Учитывая \( \gamma^2 = 1 + \frac{T_0}{2m} \), получаем: \[ \boxed{T_1 = \frac{T_0}{1 + \left(1 + \frac{T_0}{2m}\right) \tan^2 \theta}} \]

Из закона сохранения энергии \( T_1 + T_2 = T_0 \) находим: \[ T_2 = T_0 - T_1 = T_0 \left(1 - \frac{1}{1 + \gamma^2 \tan^2 \theta}\right) = T_0 \cdot \frac{\gamma^2 \tan^2 \theta}{1 + \gamma^2 \tan^2 \theta} \] \[ \boxed{T_2 = T_0 \frac{\left(1 + \frac{T_0}{2m}\right) \tan^2 \theta}{1 + \left(1 + \frac{T_0}{2m}\right) \tan^2 \theta}} \]

Угол рассеяния второй частицы \( \alpha \) определяется из: \[ \tan \alpha = \frac{1}{\gamma^2 \tan \theta} \tag{4} \] Угол разлета \( \psi = \theta + \alpha \). Тогда: \[ \tan \psi = \frac{\tan \theta + \tan \alpha}{1 - \tan \theta \tan \alpha} = \frac{\tan \theta + \frac{1}{\gamma^2 \tan \theta}}{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \frac{\gamma^2 \tan^2 \theta + 1}{\tan \theta (\gamma^2 - 1)} \] Учитывая \( \gamma^2 - 1 = \frac{T_0}{2m} \) и \( 1 + \gamma^2 \tan^2 \theta = \frac{T_0}{T_1} \), получаем: \[ \tan \psi = \frac{T_0 / T_1}{\tan \theta \cdot \frac{T_0}{2m}} = \frac{2m}{T_1 \tan \theta} \] \[ \boxed{\tan \psi = \frac{2m}{T_1 \tan \theta}} \]

В этом случае \( \gamma \to 1 \), тогда: \[ T_1 = \frac{T_0}{1 + \tan^2 \theta} = T_0 \cos^2 \theta \] \[ T_2 = T_0 \sin^2 \theta \] Из (4): \( \tan \alpha = \frac{1}{\tan \theta} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} - \theta \), следовательно: \[ \psi = \theta + \alpha = \frac{\pi}{2} \]

Кинетические энергии частиц после соударения: \[ T_1 = \frac{T_0}{1 + \left(1 + \frac{T_0}{2m}\right) \tan^2 \theta}, \quad T_2 = T_0 \frac{\left(1 + \frac{T_0}{2m}\right) \tan^2 \theta}{1 + \left(1 + \frac{T_0}{2m}\right) \tan^2 \theta} \]

Угол разлета: \[ \tan \psi = \frac{2m}{T_1 \tan \theta} \]

В нерелятивистском случае: \[ T_1 = T_0 \cos^2 \theta, \quad T_2 = T_0 \sin^2 \theta, \quad \psi = \frac{\pi}{2}\]