Это старая версия документа!

Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны, падающей нормально на плоскую границу между вакуумом и средой с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и магнитной проницаемостью $\mu.$

На границе раздела электрические и магнитные поля имеют только тангенциальную компоненту. Для определенности рассмотрим только одну поляризацию, так что падающая волна — $Ee^{i(kz-\omega t)}$, отражённая — $E_{1}e^{i(-kz-\omega t)}$ и прошедшая — $E_{2}e^{i(k_{2}z-\omega t)}$. Запишем условие на границе для тангенциальных компонент полей, но так как имеются только тангенциальные компоненты, то

$E+E_{1}=E_{2}$, $H+H_{1}=H_{2}$

Запишем магнитное поле через электрическое:

$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H}$, вспоминая, что $k=k_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}$

запишем

$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H}$, где $\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ \textemdash{} направление распространения волны, тогда выбрав за направление $z$ направление распространения падающей волны, запишем условие для магнитного поля через электрическое:

$E-E_{1}=\sqrt{\varepsilon_{2}}E_{2}=n_{2}E_{2},$ где $n_{2}$ \textemdash{} показатель преломления второй среды.

Тогда из системы

$\left\{ \begin{array}{l} E+E_{1}=E_{2}
E-E_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{2} \end{array}\right.$

найдём

$E_{1}=E\frac{1-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}$, $E_{2}=\frac{2E}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}$

Для расчёта коэффициента отражения и прохождения необходимо использовать отношение потоков энергии, т.е. векторов Пойтинга

$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}E^{2}\vec{n}$

Коэффициент отражения: $\rho_{r}=\frac{S_{1}}{S}=\frac{E_{1}^{2}}{E^{2}}=\left(\frac{1-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}\right)^{2}$,

коэффициент прохождения \textemdash{} $\rho_{d}=\frac{S_{2}}{S}=\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{2}^{2}}{E^{2}}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{\left(1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\right)^{2}}$

легко проверить, что для коэффициентов справедливо $\rho_{r}+\rho_{d}=1$, что эквивалентно закону сохранения энергии.