Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков — «линза + пустой промежуток», тогда матрица преобразования такого блока:

$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0
-\frac{1}{f} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & d
0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d
-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)$

тогда прохождения $N$ таких блоков опишется матрицей

$M_{N}=\left(\begin{array}{cc} 1 & d
-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)^{N}$

при этом преобразование на $m$\textendash том шаге можно записать в виде:

$\left(\begin{array}{c} x_{m}
\alpha_{m} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d
-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{m-1}
\alpha_{m-1} \end{array}\right)$,

а на $m+1$\textendash ом шаге:

$\left(\begin{array}{c} x_{m+1}
\alpha_{m+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d
-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{m}
\alpha_{m} \end{array}\right)$.

Запишем преобразование в виде системы:

$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1}$

$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}$

$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}$

$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}$

тогда из первого выразим

$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$

и подставим во второе

$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)=\left(\frac{1}{d}-\frac{2}{f}\right)x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$

а теперь, после подставки в третье равенство получим соотношение

$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}+\left(1-\frac{2d}{f}\right)x_{m-1}=2bx_{m}+c^{2}x_{m-1}.$

являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m},$ тогда после подстановки придём к уравнению:

$h^{2}=2bh+c^{2}$ \textemdash{} квадратное уравнение. Его решение $h_{\{1,2\}}=b\pm\sqrt{b^{2}-c^{2}}=b\pm i\sqrt{c^{2}-b^{2}}$

Решение будет периодическим, если $h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{c^{2}-b^{2}}=ce^{\pm i\varphi},$ где $\cos\varphi=\frac{b}{c}$.

Действительно, можно искать решение сразу в виде

$x_{m}=A\cos\left(\varphi\cdot m+\psi\right),$ тогда, подставив в уравнение получим:

$\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$