Это старая версия документа!

2.5. а) Разложить по плоским волнам кулоновский потенциал неподвижного точечного заряда;

б) то же для векторного потенциала прямого тока $J$ (плотность тока $J = j\delta (x)\delta (y) ).$

Кулоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:

$\Delta\varphi=-4\pi q\delta(\mathbf{r})$

Как и в предыдущей задаче запишем потенциал в виде:

$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$ а трёхмерную дельта\textendash функцию в виде

$\delta(\mathbf{r})=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}$

Подействовав лапласианом на функцию получим с одной стороны:

$\Delta\varphi=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\Delta e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$

а с другой

$-4\pi q\delta(\mathbf{r})=-4\pi q\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-q\frac{1}{2\pi^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}.$

Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций:

$\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}=q\frac{1}{2\pi^{2}},$

так, что

$\varphi_{\mathbf{k}}=\frac{q}{2\pi^{2}\mathbf{k}^{2}}.$

Аналогично рассмотрим и для тока: $\mathbf{J}=j\delta(x)\delta(y),$ удовлетворяющему уравнению для векторного потенциала: $\Delta\mathbf{A}=-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J},$ тогда с одной стороны:

$\Delta\mathbf{A}=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},\mathbf{A}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$

с другой стороны

$-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J}=-\frac{4\pi}{c}j\delta(x)\delta(y)=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dxdy=$

$-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dxdy\,\delta(k_{z})e^{ik_{z}z}dz$

Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций:

$-\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\delta(k_{z})=-\frac{1}{c}j\frac{1}{\pi}\delta(k_{z})$

так, что

$\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=\frac{j\delta(k_{z})}{\pi c\mathbf{k}^{2}}.$