Если $$k^{\mu}=\left(\frac{\omega}{c},k_{x},k_{y},k_{z}\right)=\left(\frac{\omega}{c},-k,0,0\right)$$ \textemdash{} волновой четырёхвектор в лабораторной СО, тогда

$$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ -k'\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ -k\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

Найдём падающую волну в движущейся СО: $$\frac{\omega'}{c}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}+\frac{v}{c}\gamma k$$ \textemdash{} знак \flqq{}плюс\frqq{} из \textendash{} за разнонаправленности скорости $\vec{v}$ и распространения света, т.е. $\vec{k}.$ Итак, $$\frac{\omega'}{c}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right).$$ После отражения $\vec{k}'$ будет уже иметь то же направление, что и скорость $\vec{v}$. Теперь произведём обратный переход: $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ k\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & \frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ \frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ k'\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ k\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & \frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ \frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ k'\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

$$\frac{\omega}{c}=\gamma\frac{\omega'}{c}+\frac{v}{c}\gamma k'=\gamma\frac{\omega'}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right)=\gamma^{2}\frac{\omega_{0}}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right)^{2}=$$ $$\frac{\omega_{0}}{c}\frac{\left(1+\frac{v}{c}\right)^{2}}{\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)}=\frac{\omega_{0}}{c}\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}$$ т.е. $$\omega=\omega_{0}\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}.$$