Оцените энергию основного состояния частицы в следующих потенциалах:

а) бесконечная прямоугольная яма шириной $a$;

б) параболическая яма $U(x)=\frac 12 m\omega^2x^2$;

в) кулоновский потенциал $U(r)=-\frac{e^2}{r}$.

Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$. Тогда неопределённость в импульсе имеет порядок: $$ \Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}. $$ Энергия частицы связана с импульсом соотношением: $$ E=\frac{p^2}{2m}. $$ Энергию основного состояния можно оценить, как: $$ E_0=\frac{(\Delta p)^2}{2m}=\frac{\hbar ^2}{8ma^2}. $$

Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$. Тогда неопределённость в импульсе имеет порядок: $$ \Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}. $$ Энергия частицы связана с импульсом соотношением: $$ E=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2 x^2}{2}. $$ Выразим энергию через неопределённость в координате: $$ E=\frac{(\Delta p)^2}{2m}+\frac{m\omega^2 (\Delta x)^2}{2}= \frac{\hbar ^2}{8ma^2}+\frac{m\omega^2 a^2}{2}. $$

Найдём минимум этого выражения по $a$. Продифференцируем это выражение по $a$: $$ \frac{d}{da} E=-2\frac{\hbar ^2}{8ma^3}+2\frac{m\omega^2 a}{2}=0. $$ Решая это уравнение, найдём точку экстремума: $$ a=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}. $$ Подставив это значение в энергию, получим оценку основного состояния: $$ E=\frac{\hbar ^2}{8m\left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right) }+\frac{m\omega^2 \left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right)}{2} = \frac 12\hbar \omega . $$