f2s11

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
f2s11 [2024/04/23 07:03] – rootf2s11 [2025/04/17 16:16] (текущий) – [Дифракция быстрых электронов.] root
Строка 55: Строка 55:
 Частица ведёт себя как волна с длиной волны (де Бройля): Частица ведёт себя как волна с длиной волны (де Бройля):
 $$ $$
-\lambda \frac hp=\frac{2\pi \hbar}{p},+\lambda =\frac hp=\frac{2\pi \hbar}{p},
 $$ $$
 где $p$ --- импульс частицы. где $p$ --- импульс частицы.
Строка 86: Строка 86:
 [[z11-3|Задача 3]] [[z11-3|Задача 3]]
   
-Какую разность потенциалов прошёл электронный пучок, если известно, что под 
-углом 0,57° к поверхности кристаллического кремния наблюдается 
-дифракционный максимум первого порядка. Известно, что межплоскостное 
-расстояние в кристалле кремния равно 0,312 нм. 
-  
- 
-Проходя разность потенциалов, по закону сохранения энергии электрон приобретает 
-импульс  
-$$ 
-p=\sqrt{eU\cdot 2m_e}, 
-$$ 
-Тогда длина волны де Бройля электрона равна: 
-$$ 
-\lambda= \frac{2\pi \hbar}{p}=\frac{2\pi \hbar}{\sqrt{eU\cdot 2m_e}}. 
-$$ 
-Из условия Вульфа-Брэгга: 
-$$ 
-\lambda=2d\sin \theta , 
-$$ 
-приравнивая получим: 
-$$ 
-2d\sin \theta = \frac{2\pi \hbar}{\sqrt{eU\cdot 2m_e}}, 
-$$ 
-окончательно выражая разность потенциалов: 
-$$ 
-U=\frac{\pi^2\hbar^2}{2em_ed^2\sin^2\theta }\approx 40 \text{ кВ.} 
-$$ 
  
  
Строка 144: Строка 117:
  
 [[z11-4|Задача 4]] [[z11-4|Задача 4]]
-Оцените энергию основного состояния частицы в следующих потенциалах:  
- 
-а) бесконечная прямоугольная яма шириной $a$;  
- 
-б) параболическая яма $U(x)=\frac 12 m\omega^2x^2$;  
- 
-в) кулоновский потенциал $U(r)=-\frac{e^2}{r}$. 
- 
- \includegraphics[scale=0.5]{01} 
- 
-Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$. Тогда неопределённость в 
-импульсе имеет порядок: 
-$$ 
-\Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}. 
-$$ 
-Энергия частицы связана с импульсом соотношением: 
-$$ 
-E=\frac{p^2}{2m}. 
-$$ 
-Энергию основного состояния можно оценить, как: 
-$$ 
-E_0=\frac{(\Delta p)^2}{2m}=\frac{\hbar ^2}{8ma^2}. 
-$$ 
- 
- 
- \includegraphics[scale=0.4]{02} 
- 
- 
-Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$.  Тогда неопределённость в 
-импульсе имеет порядок: 
-$$ 
-\Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}. 
-$$ 
-Энергия частицы связана с импульсом соотношением: 
-$$ 
-E=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2 x^2}{2}. 
-$$ 
-Выразим энергию через неопределённость в координате: 
-$$ 
-E=\frac{(\Delta p)^2}{2m}+\frac{m\omega^2 (\Delta x)^2}{2}= 
-\frac{\hbar ^2}{8ma^2}+\frac{m\omega^2 a^2}{2}. 
-$$ 
- 
-Найдём минимум этого выражения по $a$. Продифференцируем это выражение по $a$: 
-$$ 
-\frac{d}{da} 
-E=-2\frac{\hbar ^2}{8ma^3}+2\frac{m\omega^2 a}{2}=0. 
-$$ 
-Решая это уравнение, найдём точку экстремума: 
-$$ 
-a=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}. 
-$$ 
-Подставив это значение в энергию, получим оценку основного состояния: 
-$$ 
-E=\frac{\hbar ^2}{8m\left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right) }+\frac{m\omega^2 \left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right)}{2} = \frac 12\hbar \omega . 
-$$