Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- f2s13 [2024/05/13 15:39] – создано root
+++ f2s13 [2024/05/13 16:10] (текущий) – [Задача 4] root
@@ Строка 2: / Строка 2: @@
+====Задача 1.====
+Найти среднюю кинетическую энергию частицы массой $m$ в
-\subsection{Задача 1.}
-\begin{frame}
-\begin{block}{Задача 1.}
-Найти среднюю кинетическую энергию частицы массой m в
 одномерной прямоугольной потенциальной с бесконечно высокими стенками
 $(0<x<a),$ если частица находится в состояниях, описываемых волновыми
@@ Строка 17: / Строка 12: @@
 б) $\Psi (x) = A x\left(x-a \right)$.
-	%	\begin{center}
-	%			\includegraphics[scale=0.5]{372-2}
-	%	\end{center}
-\end{block}
-\pause
-$$\left\langle T\right\rangle =\left\langle \Psi|\hat{T}|\Psi\right\rangle \pause=\left\langle \Psi|\frac{\hat{p}^{2}}{2m}|\Psi\right\rangle \pause=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\hat{p}^{2}}{2m}\Psi dx\pause=$$
+-----
+$$\left\langle T\right\rangle =\left\langle \Psi|\hat{T}|\Psi\right\rangle =\left\langle \Psi|\frac{\hat{p}^{2}}{2m}|\Psi\right\rangle =\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\hat{p}^{2}}{2m}\Psi dx=$$
 $$
--\frac{\hbar^{2}}{2m}\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi dx\pause=
+-\frac{\hbar^{2}}{2m}\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi dx=
 -\frac{A^{2}\hbar^{2}}{2m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)\frac{\partial^{2}}{\partial
 x^{2}}x\left(x-a\right)dx=$$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 $$
--\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)dx\pause=
+-\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)dx=
--\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{ax^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{a}\pause=\frac{A^{2}\hbar^{2}a^{3}}{6m}.$$
+-\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{ax^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{a}=\frac{A^{2}\hbar^{2}a^{3}}{6m}.$$
-\pause
+$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx=A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx=$$
-$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx\pause=A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx\pause=$$
-$$A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx\pause=A^{2}\intop_{0}^{a}\left(x^{4}-2ax^{3}+a^{2}x^{2}\right)dx\pause=$$
+$$A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx=A^{2}\intop_{0}^{a}\left(x^{4}-2ax^{3}+a^{2}x^{2}\right)dx=$$
-$$A^{2}\left.\left(\frac{x^{5}}{5}-\frac{ax^{4}}{2}+\frac{a^{2}x^{3}}{3}\right)\right|_{0}^{a}\pause=\frac{A^{2}a^{5}}{30}.$$
+$$A^{2}\left.\left(\frac{x^{5}}{5}-\frac{ax^{4}}{2}+\frac{a^{2}x^{3}}{3}\right)\right|_{0}^{a}=\frac{A^{2}a^{5}}{30}.$$
-\end{frame}
+Следовательно,
+$$A=\sqrt{\frac{30}{a^{5}}} \text{ и } \left\langle T\right\rangle =\frac{5\hbar^{2}}{a^{2}m}.$$
+====Задача 2====
+В одномерном потенциальном поле $U(x),$ таком, что $U(x)=0$ при
+$x\to\infty,$ находится частица в стационарном состоянии, описываемом
+волновой функцией
+$$
+\Psi(x) =
+\left\{ \begin{array}{cc}
+Axe^{-ax}, & x\geq0\\
+, & x<0
+\end{array}\right..$$
-\subsection{Задача 2}
+Найти вид функции $U(x)$ и константу $A.$
+-----
-\begin{frame}
-Следовательно,
-$$A=\sqrt{\frac{30}{a^{5}}} \text{ и } \left\langle T\right\rangle =\frac{5\hbar^{2}}{a^{2}m}.$$
-\pause
-\begin{block}{Задача 2}
-	В одномерном потенциальном поле $U(x),$ таком, что $U(x)=0$ при
-	$x\to\infty,$ находится частица в стационарном состоянии, описываемом
-	волновой функцией
-	$$
-	\Psi(x) =
-	\left\{ \begin{array}{cc}
-	Axe^{-ax}, & x\geq0\\
-, & x<0
-	\end{array}\right..$$
-	Найти вид функции $U(x)$ и константу $A.$
-\end{block}
-\pause
 Определим вид функции $U(x),$ подставив волновую функцию в уравнение
-Шрёдингера\pause:
+Шрёдингера:
 $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi.$$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Продифференцируем:
-$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}xe^{-ax}\pause=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-ax}-axe^{-ax}\right)\pause=-2ae^{-ax}+a^{2}xe^{-ax},$$\pause
+$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}xe^{-ax}=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-ax}-axe^{-ax}\right)=-2ae^{-ax}+a^{2}xe^{-ax},$$
 тогда
-$$\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(2-ax\right)+U(x)x=Ex$$\pause
+$$\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(2-ax\right)+U(x)x=Ex$$
 так, что
-$$U(x)=\left.E+\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(a-\frac{2}{x}\right)\right|_{x\to\infty}=0,$$ \pause
+$$U(x)=\left.E+\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(a-\frac{2}{x}\right)\right|_{x\to\infty}=0,$$
-следовательно, $$E=-\frac{\hbar^{2}a^{2}}{2m}, \pause \ \ U(x)=-\frac{\hbar^{2}a}{mx}.$$
+следовательно, $$E=-\frac{\hbar^{2}a^{2}}{2m},  \ \ U(x)=-\frac{\hbar^{2}a}{mx}.$$
-\end{frame}
-\begin{frame}
-Константу $A$ определим из нормировки\pause:
+Константу $A$ определим из нормировки:
-$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx\pause=A^{2}\intop_{0}^{\infty}x^{2}e^{-2ax}dx\pause=$$
+$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx=A^{2}\intop_{0}^{\infty}x^{2}e^{-2ax}dx=$$
 $$
-\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t}dt\pause=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}\pause=$$
+\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t}dt=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}=$$
 $$
-\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}\pause=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\frac{1}{\alpha}\right|_{\alpha=1}\pause=\frac{2A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}.$$
+\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\frac{1}{\alpha}\right|_{\alpha=1}=\frac{2A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}.$$
-\pause
 следовательно, $$A=2\sqrt{a^{3}}.$$
-\end{frame}
+=====Ток вероятности.=====
-\section{Ток вероятности.}
-\begin{frame}
 Плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке
 определяется выражением:
-$$\rho=|\Psi|^{2}=\Psi\Psi^{*},$$ \pause тогда плотность вероятности должна удовлетворять уравнению непрерывности:
+$$\rho=|\Psi|^{2}=\Psi\Psi^{*},$$  тогда плотность вероятности должна удовлетворять уравнению непрерывности:
-$$\frac{\ensuremath{\partial}\rho}{\partial t}+\text{div }\vec{j}=0.$$ \pause
+$$\frac{{\partial}\rho}{\partial t}+\text{div }\vec{j}=0.$$
-Введём поток вероятности \pause (или ток вероятности) \pause $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right).$$
+Введём поток вероятности  (или ток вероятности)  $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right).$$
-\pause
-Для плоской волны \pause (т.е. для частицы, движущейся с определённым импульсом):
-$$\Psi=Ae^{ikx}, \ \ \ \pause \rho=|\Psi|^{2}=|A|^{2}=1,$$ \pause $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right)=\frac{\hbar\vec{k}}{m}.$$
-\end{frame}
-\subsection{Задача 3}
+Для плоской волны  (т.е. для частицы, движущейся с определённым импульсом):
+$$\Psi=Ae^{ikx}, \ \ \  \rho=|\Psi|^{2}=|A|^{2}=1,$$ \ $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right)=\frac{\hbar\vec{k}}{m}.$$
-\begin{frame}
+====Задача 3====
+Найти коэффициент отражения частицы с энергией $E$ на барьере
+высотой $U_{0}<E.$
+{{ ::13-1.png?300 |}}
+-----
-\begin{block}{Задача 3}
-	Найти коэффициент отражения частицы с энергией $E$ на барьере
-	высотой $U_{0}<E.$
-	\begin{center}
-	\includegraphics[scale=0.5]{03}
-	\end{center}
-\end{block}
-\pause
 Запишем уравнение Шрёдингера:
-$$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi,$$\pause
+$$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi,$$\
 потенциал имеет вид:
 $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
@@ Строка 133: / Строка 96: @@
 , & x<0
 \end{array}\right..$$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Волновая функция имеет вид:
 $$\Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
@@ Строка 143: / Строка 101: @@
 e^{ikx}+Ae^{-ikx}, & x<0
 \end{array}\right.,$$
-\pause
 где $k=\sqrt{\frac{2E}{\hbar^{2}}},$ $k_{2}=\sqrt{\frac{2\left(E-U_{0}\right)}{\hbar^{2}}}.$
-\pause
 Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на
@@ Строка 152: / Строка 108: @@
 +A=B,\\
 k\left(1-A\right)=k_{2}B,
-\end{array}\right.$$\pause
+\end{array}\right.$$\
 Решая систему двух линейных алгебраических уравнений:
-\pause
 $$A=\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k},\,B=\frac{2k}{k_{2}+k},$$
-\pause
 (как формулы Френеля для нормального падения в оптике).
-\end{frame}
+====Задача 4====
-\subsection{Задача 4}
+Коэффициент (надбарьерного) отражения равен отношению тока вероятности
+отражённой волны к току вероятности падающей:
-\begin{frame}
+$$R=|A|^{2}=\left(\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k}\right)^{2}=\left(\frac{1-\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}{1+\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}\right)^{2}.$$
-Коэффициент (надбарьерного) отражения равен отношению тока вероятности
-отражённой волны к току вероятности падающей\pause:
-$$R=|A|^{2}\pause=\left(\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k}\right)^{2}\pause=\left(\frac{1-\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}{1+\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}\right)^{2}.$$
-\pause
-\begin{block}{Задача 4}
 Найти коэффициент туннелирования частицы с энергией $E$ сквозь
 барьер высотой $U_{0}>E$ и шириной $a.$
-	\begin{center}
+{{ ::13-2.png?300 |}}
-	\includegraphics[scale=0.5]{04}
-\end{center}
-\end{block}
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Запишем уравнение Шрёдингера:
-\pause
 $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi$$
-\pause
 потенциал имеет вид:
-\pause
 $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
 U_{0}, & 0\leq x\leq a\\
 , & x<0\text{ и }x>a
 \end{array}\right..$$
-\pause
 Таким образом, волновая функция имеет вид:
 $$\Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
@@ Строка 200: / Строка 136: @@
 De^{ikx} & x>a
 \end{array}\right.$$
-\pause
 где $k=\sqrt{\frac{2E}{\hbar^{2}}},$ $k_{2}=\sqrt{\frac{2\left(U_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}}.$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на
-границах барьера, т.е. при $x=0$ и $x=a:$\pause
+границах барьера, т.е. при $x=0$ и $x=a:$
-$1+A=B+C;$\pause
+$1+A=B+C;$
-$ik\left(1-A\right)=k_{2}\left(B-C\right);$\pause
+$ik\left(1-A\right)=k_{2}\left(B-C\right);$
-$Be^{k_{2}a}+Ce^{-k_{2}a}=De^{ika};$\pause
+$Be^{k_{2}a}+Ce^{-k_{2}a}=De^{ika};$
-$k_{2}\left(Be^{k_{2}a}-Ce^{-k_{2}a}\right)=ikDe^{ika}.$\pause
+$k_{2}\left(Be^{k_{2}a}-Ce^{-k_{2}a}\right)=ikDe^{ika}.$
 Решая систему, получим:
-$$A=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)+i2kk_{2}\left(e^{2k_{2}a}+1\right)}$$\pause
+$$A=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)+i2kk_{2}\left(e^{2k_{2}a}+1\right)}$$
-так как $R=|A|^{2},$ то \pause
+так как $R=|A|^{2},$ то
 $$R=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)+4k^{2}k_{2}^{2}\text{ch}^{2}\left(k_{2}a\right)}.$$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 Коэффициент прохождения равен: $T=1-R.$
-\pause
 Ответ напоминает соотношение, полученное при изучении прохождения
 волны через зазор при полном внутреннем отражении.
-\pause
 Туннельный эффект используется в:
-\pause
 ) Туннелирование носителей зарядов через потенциальный барьер p-n
 перехода, получившее практическое применение в туннельном диоде, где
 наблюдается отрицательное дифференциальное сопротивление.
-\pause
 ) Туннельный микроскоп. Основан на, том, что если между поверхностью
@@ Строка 249: / Строка 173: @@
 разрешением.
-\end{frame}
-\begin{frame}
 ) $\alpha$--распад --- туннелирование через
 потенциальный барьер. Теорию альфа--распада, основанную
 на туннельном эффекте, разработал в 1928 Георгий Гамов.
-\pause
 ) авто-- и термоэмиссия
-\pause
 ) Туннелирование носителей зарядов через тонкую оксидную плёнку,
@@ Строка 265: / Строка 185: @@
 проводников. и т.д.
-\end{frame}
+==== Задача 5.====
-\subsection{Задача 5.}
-\begin{frame}
-\begin{block}{Задача 5.}
 Пользуясь формулой для нахождения коэффициента туннелирования $T=exp\left(-\frac{2}{\hbar}\intop_{a}^{b}\sqrt{2m\left(U(x)-E\right)}dx\right),$
-где $a,b$ \textemdash{} классические точки поворота для потенциального
+где $a,b$  классические точки поворота для потенциального
 барьера, найти вероятность прохождения электрона с энергией $E$ сквозь
 потенциальный треугольной формы высотой $U_{0}$ и шириной $d$.
-\begin{center}
+{{ ::13-3.png?300 |}}
-	\includegraphics[scale=0.5]{05}
-\end{center}
-\end{block}
-\pause
 Потенциальная энергия имеет вид:
 $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
@@ Строка 289: / Строка 199: @@
-\end{frame}
+Определим точки поворота:
+$a=0,$  а вторая точка поворота определяется из равенства: $$U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)=E,$$
-\begin{frame}
-Определим точки поворота\pause:
-$a=0,$ \pause а вторая точка поворота определяется из равенства: $$U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)=E,$$\pause
 следовательно, $$b=\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d.$$
-\pause
 Итак:
 $$T=exp\left(-\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar}\intop_{0}^{\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d}\sqrt{U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)-E}dx\right)=$$
-\pause
 $$exp\left(\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left.\left(U_{0}-U_{0}\frac{x}{d}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0}^{\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d}\right)=$$
-\end{frame}
-\begin{frame}
 $$exp\left(\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left(\left(U_{0}-U_{0}\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)-E\right)^{\frac{3}{2}}-\left(U_{0}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right) \Rightarrow$$
-\pause
 $$T= exp\left(-\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left(U_{0}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right).$$