Дано: Конденсатор \( C_1 \) заряжен до \( Q_1 \), \( C_2 \) не заряжен. Ключ замыкается.

Найти: \( I_{\text{max}} \) и \( Q_{\text{max}} \) после замыкания.

Решение:

После замыкания ключа конденсаторы \( C_1 \) и \( C_2 \) оказываются соединены параллельно через катушку \( L \).

- Эквивалентная ёмкость: $$ C_{\text{экв}} = C_1 + C_2 $$

- Начальное напряжение: $$ U_0 = \frac{Q_1}{C_1} $$

- Максимальный заряд на \( C_2 \): $$ Q_{\text{max}} = C_2 \cdot U = \frac{C_2 Q_1}{C_1 + C_2} $$

- Максимальный ток: $$ I_{\text{max}} = Q_1 \sqrt{\frac{1}{L} \left( \frac{1}{C_1} - \frac{1}{C_1 + C_2} \right)} $$

Ответ: $$ I_{\text{max}} = Q_1 \sqrt{\frac{1}{L} \left( \frac{1}{C_1} - \frac{1}{C_1 + C_2} \right)} $$ $$ Q_{\text{max}} = \frac{C_2 Q_1}{C_1 + C_2} $$

Дано: Катушки \( L_1 \), \( L_2 \) подключены параллельно к батарее \( E \), \( r \).

Найти: Установившиеся токи.

Решение:

В установившемся режиме ток через катушки постоянный.

- Общий ток: $$ I = \frac{E}{r} $$

- Распределение токов: $$ I_1 = \frac{L_2}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r} $$ $$ I_2 = \frac{L_1}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r} $$

Ответ: $$ I_1 = \frac{L_2}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r}, \quad I_2 = \frac{L_1}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r} $$

Дано: \( U_{13} = U_0 \cos \omega t \), подано в момент \( t = 0 \).

Найти: \( U_R \), \( U_C \).

Решение:

Используем метод комплексных амплитуд.

- Комплексное сопротивление: $$ Z = R + \frac{1}{j\omega C} $$

- Комплексный ток: $$ \dot{I} = \frac{U_0}{R + \frac{1}{j\omega C}} $$

- Напряжения: $$ \dot{U}_R = \dot{I} R, \quad \dot{U}_C = \dot{I} \cdot \frac{1}{j\omega C} $$

Ответ: $$ U_R(t) = \frac{U_0 R}{\sqrt{R^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2}}} \cos(\omega t + \varphi_R) $$ $$ U_C(t) = \frac{U_0}{\omega C \sqrt{R^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2}}} \cos(\omega t + \varphi_C) $$

а) RL-цепочка:

- Комплексное сопротивление: $$ Z = R + j\omega L $$

- Ток: $$ \dot{I} = \frac{U_0}{R + j\omega L} $$

- Напряжения: $$ \dot{U}_R = \dot{I} R, \quad \dot{U}_L = \dot{I} \cdot j\omega L $$

б) LC-цепочка:

- Комплексное сопротивление: $$ Z = j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = j\left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right) $$

- Ток: $$ \dot{I} = \frac{U_0}{j\left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)} $$

- Напряжения: $$ \dot{U}_L = \dot{I} \cdot j\omega L, \quad \dot{U}_C = \dot{I} \cdot \frac{1}{j\omega C} $$

Дано: \( U = U_0 \cos \omega t \), параллельное соединение \( R, C, L \).

Найти: Токи и сопротивление, резонанс.

Решение:

- Комплексные проводимости: $$ Y_R = \frac{1}{R}, \quad Y_C = j\omega C, \quad Y_L = \frac{1}{j\omega L} $$ $$ Y = \frac{1}{R} + j\left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right) $$

- Общий ток: $$ \dot{I} = \dot{U} \cdot Y $$

- Резонанс токов при: $$ \omega C = \frac{1}{\omega L} \quad \Rightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

Ответ: $$ I = U_0 \sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right)^2 } $$ $$ Z = \frac{1}{\sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right)^2 }} $$ Резонанс токов наблюдается при $ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} $.

Дано: $ \sigma = 5 \cdot 10^{17} \, \text{с}^{-1} $, $ \mu \approx 1 $, $ \nu_1 = 50 \, \text{Гц} $, $ \nu_2 = 1 \, \text{МГц} $.

Найти: $ \delta_1, \delta_2 $.

Решение:

Формула толщины скин-слоя в СГС: $$ \delta = \frac{c}{\sqrt{2\pi \mu \sigma \omega}} $$ где $ \omega = 2\pi\nu $, $ c = 3 \cdot 10^{10} \, \text{см/с} $.

Для $ \nu_1 = 50 \, \text{Гц} $: $$ \delta_1 = \frac{3 \cdot 10^{10}}{\sqrt{2\pi \cdot 1 \cdot 5 \cdot 10^{17} \cdot 2\pi \cdot 50}} \approx 0.955 \, \text{см} $$

Для $ \nu_2 = 1 \, \text{МГц} $: $$ \delta_2 = \frac{3 \cdot 10^{10}}{\sqrt{2\pi \cdot 1 \cdot 5 \cdot 10^{17} \cdot 2\pi \cdot 10^6}} \approx 0.00955 \, \text{см} = 95.5 \, \mu\text{м} $$

Ответ: $$ \delta_1 \approx 0.955 \, \text{см}, \quad \delta_2 \approx 95.5 \, \mu\text{м} $$