Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков — «линза + пустой промежуток», тогда матрица преобразования такого блока: $$ M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{1}{f} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right), $$ а прохождение $N$ таких блоков опишется матрицей $$ M_{N}=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)^{N}, $$ при этом преобразование на $m$–том шаге можно записать в виде: $$ \left(\begin{array}{c} x_{m}\\ \alpha_{m} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{m-1}\\ \alpha_{m-1} \end{array}\right), $$ а на $m+1$–ом шаге: $$\left(\begin{array}{c} x_{m+1}\\ \alpha_{m+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{m}\\ \alpha_{m} \end{array}\right). $$

Запишем преобразование в виде системы: $$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1}$$ $$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}$$ $$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}$$ $$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}$$

тогда из первого выразим

$$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$$

и подставим во второе

$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)=\left(\frac{1}{d}-\frac{2}{f}\right)x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$$

а теперь, после подставки в третье равенство получим соотношение

$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}+\left(1-\frac{2d}{f}\right)x_{m-1}=2bx_{m}+c^{2}x_{m-1}.$$

являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m},$ тогда после подстановки придём к уравнению: $h^{2}=2bh+c^{2}$ — квадратное уравнение. Его решение $$h_{\{1,2\}}=b\pm\sqrt{b^{2}-c^{2}}=b\pm i\sqrt{c^{2}-b^{2}}.$$

Решение будет периодическим, если $$h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{c^{2}-b^{2}}=ce^{\pm i\varphi},$$ где $\cos\varphi=\frac{b}{c}$.

Действительно, можно искать решение сразу в виде

$$x_{m}=A\cos\left(\varphi\cdot m+\psi\right),$$ тогда, подставив в уравнение получим:

$$\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$$